Differenzialrechnung. 
298 
Differenzialrechnung. 
Setzt man nun ar = a -f- A®, so hat man 
(« -f A x)'* - «- 4- A ^ 7 
?/ + A y = ■ 
(2r< A'f + A* 2 ) 2 
und nach dem Binomialsatz entwickelt 
A« + 
a-i) 
und reducirt 
a l -f \a 
A* 7 [(2 a) 7 + £(2a)~ 7 A*-*(2«) 
5 A* 2 + . • • — a 1 + A-r 7 
A® 2 + •. 
.] 
A*-+7« 5 Ax — {a ■ A®H 
A»*[(2ii)* + *(2a) 7 A*-£(2a) *A**+...] 
Zähler und Nenner mit A® 7 dividirt gibt 
l + la~ 7 A* 7 ->~ 7 A* 7 + •••• 
V + A y = 
(2«)H1(2«) 2 A*-l(2a) ?A* 2 + ... 
Mit der beliebigen Abnahme von A® 
nimmt auch Aj/ beliebig ab, der Aus 
druck links nähert sich beliebig seinem 
Grenzwerth y und der Quotient rechts 
nähert sich seiner Grenze - ^ - mithin 
(2 a) 7 
ist fiir x = a die Function y = —— = 
(2a) 7 " a 
9. Es ist No. 1 angegeben, dafs man 
in a'gebraischen Functionen der Beschaf 
fenheit, dafs Zähler und Nenner für x = a 
zu Null werden, die analystische Methode 
nicht anzuwenden nöthig habe, weil eine 
einfache Division des Zählers und des 
Nenners mit dem Null machenden Fac 
tor genüge. In dem Beispiel 8 ist dies 
natürlich auch der Fall. Es ist nämlich 
. . . , , . Voc + 1/a x — a 
\'x - \ n = (\x - } a) X -—= ——- r 
Vx + ]/a \/x + ya 
y x — a — y, 
\/x — n x — a 
yx — ax 
y x — a y x — a 
folglich ist der Zähler dividirt durch {x- a), 
oder 
yx-ya-f y x - a _ 1 
x — a yx + ya 
der Nenner yx 2 — a 2 ist durch {x — a) di- 
... yx 2 — a 2 i/* + # . _ 
vidirt = = 1/ der Quotient 
x — a > x — a 
ist demnach nach ausgeführter Division 
()L x x~ n-yyx-y y n \ 
_■yx — a {yx + ya) > | 'x — a + yx + ya 
jx -f- a (j/a; -f- ya)) 1 x + a 
x — a 
und für x — a gesetzt 
_ 0 + ya + ya 1 _ y2a 
^ {ya -f ]/a) y2a ~ \’2a 2a 
In complicirten algebraischen Aus 
drücken möchte die analytische Methode 
vorzuziehen sein, besonders da man für 
jede Reihe nur die beiden ersten Glieder 
zu entwickeln hat. 
III. Bestimmung der gröfstenund 
kleinsten Werthe von Functionen. 
Wenn der Werth einer Function y für 
einen Werth X der Urveränderlichen x 
1 _ \ x — a + yx + Ra 
y x — a \/x — a {yx + ya) 
gröfser oder kleiner wird, als alle 
Werthe derselben, welche entstehen wenn 
man den Werth X bis zu bestimmten 
Grenzen hin vermehrt oder vermindert, 
so heilst jener Werth von y für X im 
ersten Fall ein gröfster Werth oder 
ein Maximum der Function, im zweiten 
Fall ein kleinster Werth oder ein 
Mini mu m der Function. Diese gröfs- 
ten und kleinsten Werthe der Function 
bedeuten absolute Zahlen, ohne dafs 
Vorzeichen dabei in Betracht kommen. 
In Beziehung auf die Vorzeichen nennt 
man subtractive Minima auch Maxima 
und subtractive Maxima, Minima. Die 
Werthe der Urveränderlichen, welche in 
nerhalb der oben gedachten Grenzen lie 
gen so wie die zugehörigen Werthe der 
Function, bis zu welchen die Maxima und 
Minima als solche gelten, heifsen benach 
barte Werthe. Aufserhalb dieser benach 
barten Werthe kann die Function Werthe 
annehmen, die gröfser sind als das zu