Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
der kleiner wird als das zweite Glied 
selbst, oder wenn man diese Summen 
in den beiden Reihen mit R und R 1 be 
zeichnet, dafs 
8 2 y A x® 
öx* * 1^2 
D 2 y Ax 2 
>R 
0 X 2 
Nun hat man 
1 • 2 
> R’ ist. 
Y + A y- Y + ^'f^2 + R 
und Y~/Sy=Y + ^‘^- 2 + R’ 
In beiden Ausdrücken ist nun das zweite 
Glied additiv. Nimmt also das zweite 
Differenzial für den Werth X der Urva- 
riablen, für welchen das erste Differen 
zial = 0 geworden ist, einen bestimmten 
additiven oder subtractiven Werth an, 
so sind beide zweiten Glieder entweder 
zugleich additiv oder zugleich subtractiv. 
Für den ersten Fall ist 
Y + /Sy> y 
und F — Ay > F 
Für den zweiten Fall ist 
Y + /Sy< y 
und Y—/Sy<y 
In dem ersten Fall ist also Y ein Mi 
nimum, in dem zweiten Fall ein Maxi 
mum der Function. 
4. Wird für denselben Werth X der 
Urveränderlichen, für welchen das erste 
Differenzial der Function = 0 geworden 
ist, auch das zweite Differenzial =0, so 
ändern sich die Reihen in die folgenden 
Y'+Ay=Y + 
y — A y = y — 
0 3 ?/ 
0X 3 
0 3 ?/ 
0X 3 
A« 3 , 0^2/ Ax 4 
"(3Y + 0x 4 ‘ (4)' + 
Ax 3 ^y Ax 4 _ 
Wo* 4 ’ (4) ‘ 
Diese Reihen sind also der Form nach Differenzial einen bestimmten positiven 
dieselben wie die ersten beiden, und folg- oder negativen Werth annimmt; wird da- 
lich existirt kein Maximum und kein Mi- gegen dieses dritte Differenzial = 0, so 
nimum der Function, wenn das dritte erhält man die Reihen 
und 
Y + /Sy = Y + 
0 4 /7 . 
öx 4 
Y-/Sy= F + 
aJ ^Ö.x 4 
Ax 4 d^y' Ax 3 
(4) 0x 5 (5) 
Ax 4 0 5 y Ax 5 
(4^ 0x 5 (5) 
und man erhält wie vorhin für y’ ein 
Maximum Y bei dem Werth X der Ur- 
veränderlichen, wenn einen bestimm 
ten subtractiven Werth und ein Mini 
mum y, wenn ^ einen bestimmten ad- 
’ 0X 4 
ditiven Werth annimmt. 
Setzt man diese Schlüsse weiter fort, 
so ersieht man aus den bisherigen Un 
tersuchungen ; 
Erstens, dafs von der Function y nur 
ein Maximum und ein Minimum existi- 
ren kann für denjenigen Werth X der 
Urvariablen X, für welchen das erste Dif- 
0 V 
ferenzial der Function =0 wird, 
ox 
Zweitens: Setzt man diesen Werth X 
in die höheren Differenziale und dasje 
nige Differenzial, welches zuerst einen 
bestimmten Werth annimmt, ist ein D. 
gerader Ordnung, so ist der Werth der 
Function für den Werth X der Urver 
änderlichen ein Maximum, wenn das hö 
here D. subtractiv ist, ein Minimum, 
wenn das höhere D. additiv ist. 
Drittens: Ist dasjenige höhere D., wel 
ches zuerst einen bestimmten Werth an 
nimmt, von ungrader Ordnung, so existirt 
für die Function y weder ein Maximum 
noch ein Minimum, weder für x = X 
noch für irgend einen anderen Werth 
der Urvariabeln. 
5. Aus der Entwickelung der Regeln 
zur Erkennung der Maxima und Minima 
ersieht man, dafs immer nur die abso 
luten Werthe entscheiden, dafs also jede 
Gröfse, die auf ein Maximum oder Mi 
nimum zu untersuchen ist, als positive 
Gröfse gedacht werden mufs. Ist aber 
eine solche Gröfse der Lage nach nega 
tiv oder der Zahl nach subtractiv, so 
mufs ihr, damit sie an sich gröfser werde, 
etwas Negatives oder Subtractives zuge 
setzt werden; eben so mufs von ihr etwas