Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
sec = 7 — die weitere Un- 
\ 2 / / n \ 
C0S \ 2 ”) 
lersuchung anstellt, so ergiebt sich, dafs 
sec Y* ein absolutes Maximum ist,wie 
auch sec rc) positiv und sec^^ + ctj 
negativ ist. 
6. y = cosec x 
. öy 
Ls ist öt = — cot x • cosec x 
öx 
— ^ = + cosec x (cot 2 a? -f cosec 2 x) 
Für x = y wirc ^ = - 0 X 1 = 0 
g=l(0+l*) = + l 
folglich entstellt für x = ^ wie bei der 
Secante ein Minimum = 1, und es ist 
auch cosec = -f- cosec a. Das Maxi 
mum für x = 0 ist ein absolutesMaxi- 
m um. 
8. Man kann für die Beurtheilung, ob 
eine Function y mit dem Nullwerth des 
ersten Differenzials für x und y, ein Maxi 
mum oder ein Minimum oder keines von 
beiden wird, die höheren Differenziale 
ganz ignoriren. 
Wächst nämlich eine Function y mit 
dem Wachsthum ihrer Unveränderlichen 
x und nimmt mit ihr ab, so wachsen 
auch die Zuwachse Ay undA® mit ein 
ander und nehmen mit einander ab. Zu 
einem positiven /Sx gehört also immer 
ein positives Ay und zu einem negati 
ven A* immer ein negatives A y, es ist 
A y 
mithin jederzeit der Zuwachsquotient ~ 
S ositiv und somit auch das Differenzial 
y 
positiv. 
Wächst hingegen die Function y mit 
der Abnahme der Urveränderlichen x und 
nimmt ab mit der Zunahme von x, so 
findet beides auch zwischen deren Zu 
wachsen Ay und /Sx statt. Es ist also 
jederzeit absolut genommen y + /Sy mit 
x — /Sx oder y —/Sy mit a + A* ver 
bunden, der Differenzenquotient ^ und 
0 y 
mit demselben das Differenzial ist je- 
u.r 
derzeit negativ. Ist gegenseitig das Dif- 
81/ 
ferenzial ¿r für irgend zusammengehö- 
ax 
rige Werthe y, x positiv, so wächst y von 
hier ab mit dem Wachsthum von x und 
nimmt ab mit der Abnahme von x. Ist 
dagegen jenes Differenzial negativ, so 
wächst y von hier ab mit der Abnahme 
von x und nimmt ab mit der Zunahme 
von x. 
Ist nun für irgend einen Werth A von 
9 y 
x das erste Differenzial ~ = 0 und es 
öx 
9 y 
w r ird für den Werth X +/Sx positiv, 
so wachsen die Werthe der Function y 
von Y ab nach der positiv benachbarten 
9 y 
Seite hin: wird ferner auch — für den 
öx 
Werth A — A« positiv, so nehmen die 
Werthe der Function y von Y für X nach 
der negativ benachbarten Seite hin ab 
und es ist also Y für x = X weder ein 
Maximum noch ein Minimum. 
Wird das Differenzial für X + A x 
öx 
negativ, so werden die Werthe der Func 
tion von y ab nach der positiven Seite 
9 y 
hin kleiner; wird für X — /Sx eben 
öx 
falls negativ, so werden die Werthe der 
Function von y ab nach der negativen 
Seite hin gröfser und Y ist wiederum 
weder ein Maximum noch ein Minimum. 
9 y 
Wird dagegen ^ J für A + A® posi- 
öy 
öx 
wachsen die Werthe der Function y von 
F ab nach der positiven Seite hin, und 
wachsen mit der Abnahme von X und /Sx 
auch nach der negativen Seite hin. Beide 
benachbarten Werthe von y rechts und 
links von y 
(für x = 
X oder für 
öy 
03 
= 0 ) 
werden gröfser als Y und folglich ist 
y ein Minimum. 
9 y 
Wird endlich ^ für A + A* negativ 
öx 
und für X — /Sx positiv, so nehmen 
die Werthe der Function ab, welche auf 
der positiven Seite liegen und die Werthe 
der Function auf der negativen Seite 
nehmen ebenfalls ab. Beide benachbar 
ten Werthe zur Linken und zur Rechten 
von y werden kleiner als Y, und Y ist 
ein Maximum. 
Um also den Werth von x zu finden, 
für welches y ein Maximum und ein Mi 
nimum werden kann setze ^ = 0 und 
öx