Differenzialrechnung. 
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Differenzialrechnung. 
entwickele x so ist X der verlangte Werth. 
Um nun aber beurtheilen zu können, ob 
für X die Function y ein Maximum oder 
•ein Minimum oder keins von beiden wird, 
setze in dasselbe Differenzial « - für A 
da 
nach einander die Werthe M -f A x und 
X — A® (oder X + « und X — «). 
Wird dann ^7^ -— positiv, ^7^— 
9 (A+Ax) r B(A-Aa-) 
negativ, so ist Y ein Minimum. 
Wird — negativ -1 
0(A+A*9 g ’ 9 (A — A ») 
positiv, so ist Y ein Maximum. 
ww m+M™ A 
positiv oder negativ, so ist Y weder ein 
Maximum noch ein Minimum. 
9. Beispiele. 
1. Eine gegebene Zahl in 2 Theile zu 
zerlegen, dafs das Product bestimmter 
Potenzen dieser Theile ein Maximum 
oder Minimum werde. 
Ist a die gegebene Zahl, x der eine 
Theil, also (a — x) der andere, so soll 
x m (a — x)>‘ = /17 sein. 
Nun ist 
— X m —1 
x) n = x"‘ • n {a — x)"— 1 (— 1) + (a — x) n • mx n ‘— 1 
(« — x) n ~ 1 \m (a — x) — nx~\ 
(a — x) n ~ 1 [ma — (m + n) a?] 
^1 kann nun = 0 werden für den ersten 
da? 
Factor x m — 1 = 0, d. h. für x = 0, wel 
cher Werth für ein 31 nicht möglich ist; 
für den zweiten Factor (a — x) n — 1 , also 
für (a — x)— 0, welcher Werth ebenfalls 
der Aufgabe widerspricht; daher kann nur 
der dritte Factor = 0 gesetzt werden, also 
via — (m -f «) x = 0 
m a 
woraus x — —-—• 
m-\- n 
Da nun das 2te Differenzial substractiv 
wird, so entsteht für x = —-—- ein Maxi- 
m + n 
mum, und die beiden Theile von a sind 
-l^L und (a —das Product der 
m + n \ m 4- 11/ 
Potenzen, das Maximum 
/ ma V" ( na \" m ' u * n " 
-I- ) xl ) =, ——Xavi+11 
\tn -f n! \m -\- n/ 
Für m = n sind beide Theile der Zahl 
einander gleich und jede {a. 
Die Zahl 10 in 2 Theile zerlegt, dafs 
o? 3 x (10 — a?) 2 ein Maximum wird, gibt 
G und 4 und das Maximum = 6 3 x4 2 =3456. 
2. Yon einem Cylinder ist der Inhalt 
A :t gegeben, seine Abmessungen so zu 
bestimmen, dafs seine gesammte Ober 
fläche ein Minimum werde. 
Bezeichnet man mit x den Durchmes 
ser der Grundebene, mit y die Höhe des 
Cylinders, so ist 
der Inhalt des Cylinders = \n x~y =» A 3 
der Inhalt jeder Endfläche = \v a? 2 
der Flächeninhalt des Mantels —rixy. 
Die Gröfse, welche ein Minimum wer 
den soll ist also 
7ixy + 2 • \nx i — M 
Nun ist aus der ersten Gleichung 
4 A 3 
V = —2 
also 
Nun ist 
9 71/ _ 
00? 
4 A 3 
-f \n a? 3 = M 
(1) 
(2) 
4M 3 — 4 A 3 + 77 a- 3 
—- -f nx = ~ = 0 
■=a]/Y 
' 71 
(3) 
Das zweite D. von 31 wird positiv, mit 
hin entsteht für diesen Werth von a? ein 
Minimum. 
Man erhält nun (aus 1 und 3) 
4 A 3 1 1 % 2 . j /4 
,J= lT-^’Vm= A Vv 
Es mufs also für das Minimum der ge- 
sammten Oberfläche die Höhe des Cylin 
ders = dem Durchmesser der Grundfläche 
genommen werden. 
Je kleiner man die Höhe nimmt, desto 
gröfser werden die beiden Endflächen und 
man kann mit beliebiger Abnahme der 
Höhe den Inhalt beider Endflächen be 
liebig grofs erhalten, so dafs mit diesen 
auch die gesammte Oberfläche beliebig 
grofs wird und somit ein Maximum un 
möglich ist. Gegenseitig wird durch Ver 
größerung der Höhe die Grundfläche im 
mer kleiner, der Mantel wird immerfort 
gröfser und mit diesem kann die ge 
sammte Oberfläche des Cylinders jede be 
liebige Gröfse erhalten. Beides drücken 
auch die Formeln für den Mantel und 
4A 3 
die Grundflächen aus, nämlich und 
x 
\nx 2 . Es ist daher auch die Aufgabe