Differenzialrechnung. 305 
Differenzialrechnung. 
unmöglich, den Oylinder von dem Inhalt 
A 3 so zu bestimmen , dafs der Mantel 
allein, oder eine oder beide Grundflächen 
allein Maxima oder Minima werden. 
Soll eine Grundfläche vom Minimo 
ausgeschlossen werden, so hat man 
4 
M = ~ + \tix 2 
Fig. 559. 
und 
und 
dM AA 3 , 
= T + 
OX X* 
y= 
2A 
3 
\/n 
4A 3 ]/ 71 A 
4.4 2 
so dafs der Durchmesser der Grundfläche 
doppelt so grofs als die Höhe sein mufs. 
3. Aus der vorigen Aufgabe erhellt, 
dafs unter allen Cylindern von gleich 
grofser Gesammtoberfläche derjenige den 
gröfsten körperlichen Inhalt hat, bei wel 
chem Durchmesser der Grundebene und 
Höhe = grofs sind. Dies soll hier direct 
untersucht werden. 
Bei derselben Bezeichnung soll der In 
halt 
A 3 = \nx 2 y = Max. werden. 
Die gegebene Gesammtoberfläche ist 
F = 71 xy -f- ^71X 2 
F—^tix 2 F . 
hieraus y = - — = — — ±x 
71X 71 X 
Also M = \71x- ^ 5Fx — Itix 3 
dM 
daher 
und 
Nun ist 
F-I71 
y= 
= ' F ~ ln** 
kleinen Inhalt bringen und man sieht, 
dafs die Aufgabe kein Minimum zuläfst. 
Als Maximum ferner kann das Viereck 
keinen ausspringenden Winkel E haben. 
Zieht man die Diagonale BD, setzt die 
Z_A und E — f/> und 1p, so ist 
A ABD — \c ' d • sin if> 
/\CBÜ — \a • b • sin xp 
mithin der Inhalt des Vierecks 
M = ^ {ab sin xtj + cd sin (p) 
Das Differenzial vom M soll : 
setzt werden; es sind 2 Veränderliche 1 p 
und (f>, nimmt man q> als urveränderlich 
und differenzirt, so erhält man 
dM di ¡) . 
=-— = ab cos xp ¿r f- cd cos <1 = 0 (2) 
d tp dtp 
Setzt man die Diagonale BD = x, so 
hat man für die beiden Veränderlichen 
die Gleichung 
x 2 = a~ + ¿> 2 — 2ab cos xp — c 2 -f- d 2 — 2 cd cos cp 
woraus 
a 2 + b 2 —c 2 — d 2 . cd 
(1) 
0 ge- 
COS Xp TZ 
und 
2F 
371 
1/ 3 I= ]/ 2F oder 
r 2F r 3/7 
2ab 
d cos il> cd _ 
—Ev—- = —7 o COS (f. 
dxp ab r 
. Di// cd . 
- sm xb 57— — »7« 
dtp 
T 
Dafs der vorstehende Ausdruck für x 
ein Maximum ist, ersieht man natürlich 
d 2 M 
daraus, dafs ^ einen negativen Werth 
erhält. 
4. In einem ebenen Viereck sind die 
4 Seiten a, b, c, d gegeben; das Viereck 
so zu bestimmen, dafs der Inhalt dessel 
ben ein Maximum werde. 
Wenn man in dem nebenstehenden 
Viereck ABCÜ die Seiten BC und CD 
sich unverrückbar denkt, so kann man 
die Seiten BA — c und DA = d auch in 
die Lage BED bringen, endlich kann 
man durch Verminderung des Z BCD 
das Viereck ABCD auf jeden noch so 
II 
ab 
0ijj cd sin cp 
woraus «- = , • --—- 
ö(f ab sm xp 
Diesen Werth in das Differenzial (2) 
von M gesetzt, gibt 
dM cd sintp 
oc— = ab cos xp • —r • — f cd cos <i> = 0 
o (p ab r 
oder 
sin xp 
dM , sin (/ • cos 1 p 4- cos <1 • sin 1 p 
s— = cd 4 £_——t 4 = 0 
dip sm xp 
oder sin {(f -f- xp) = 0 (3) 
Es ist mithin 
entweder <p + xp = 0 
oder ip + xp = 180° = Ti 
Der erste Werth ist nicht möglich, 
folglich gilt nur der zweite Werth if-\- i/> = 77. 
Das verlangte Viereck ist also dasje 
nige, dessen gegenüberliegende Winkel 
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