tiv und M ein Minimum. Da aber nach 
dem Obigen ein Minimum nicht möglich 
ist, so mufs h>r sein, und dies ist die 
Bedingung, dafs ein Maximum entstehe, 
weil dann diese gesammte Oberfläche des 
Cylinders gröfser ist als die doppelte Ke 
gelgrundebene. Dieses Resultat aber geht 
auch ohne Analysis aus der Formel 1 
für M hervor. Denn da die doppelte Ke 
gelgrundfläche = ist 277r 2 so hat man zur 
Bedingung 
2ir i <2n ~ [(r- 
A)a; 3 — h(2r - h) a? -}- i*/i 2 ] 
Differenzialrechnung. 
Fig. 563. 
woraus die Klammern aufgelöst und die 
Nenner fortgeschafft und reducirt, die Be 
dingung hervorgeht 
(r — h)x — h (2r — K) > 0 
oder (r — h)x > h (2r — h) 
Da nun x immer kleiner ist als It, so 
mufs (r - A)>(2/- - h) sein, d. h. es müs 
sen (r — h) und (2r - h) subtractiv sein. 
Es ist demnach 
h— 2r 
x = 4™ • 
und der hierzu gehörige Cylinder der 
verlangte. 
8. In einer Kugel den gröfsten Cylin 
der zu zeichnen. 
Bezeichnet man nach Figur 563 mit r 
den Halbmesser der Kugel, mit x die 
halbe Höhe des Cylinders, d. i. die Ent 
fernung des Mittelpunkts der Kugel von 
jedem Grundkreise des Cylinders, so ist 
der Inhalt des Cylinders 
M — Ti • (r 2 — x' 1 ) • 2x = 2 n (r 2 x — a; 3 ) 
= 277r 2 -- 677X 2 = 0 
daher die Höhe des Cylinders = frj/3 
und der Durchmesser seiner Grundebene 
= 2 r Vi = !»• F6 
die Höhe verhält sich zum Durchmesser 
V3:R6 =1 : 12 
d. h. wie die Seite eines Quadrats zu 
dessen Diagonale, und der Inhalt des Cy 
linders ist = f77 7’ 3 y3 
9. In einer Kugel den Cylinder zu 
zeichnen, der die gröfste Gesammtober- 
fläche hat. 
Bei derselben Bezeichnung hat man 
das verlangte Maximum 
M = 277 (r 2 — X 2 ) + 477 .r jV 2 — x' 1 
wo das erste Glied die Summe beider 
Grundebenen und das zweite Glied den 
Mantel vorstellt. Dies M hat mit belie 
biger Abnahme von x den Grenzwerth 
277r 2 nämlich die doppelte Fläche des 
gröfsten Kreises der Kugel. 
Nun ist 
~+=<„[- *+~ 2 * 8 1=o 
! - -r 2 I | yr* — ® a J 
= r]/i 
Da nun in dem obigen Differenzial 
r 2 — 2 a: 2 
— X -\ ——= 0 
yr 2 — x 2 
r immer >x, also ]/r 2 — a: 2 positiv ist, 
das zweite Glied aber wegen des sub- 
tractiven ersten Gliedes additiv sein mufs, 
so ist auch der Zähler (r 2 — 2a; 2 ) additiv, 
folglich r 2 > 2a; 2 . 
Aus diesem Grunde kann in dem Aus 
druck für x nur — y| gelten, weil für 
Vl±yj 
2