Diophantische Gleichungen. 315 Diophantische Gleichungen. 
Dreiecke, daher auch die Kanten und 
Ecken dreierlei. 
Von den Kanten sind 8 längere meist 
schärfere, 8 kürzere meist stumpfere 
Scheitelkanten A, B und in der Basis 
liegende 8 Seitenkanten D. Von den 
Ecken sind 2 symmetrische 8flächige 
Scheitelecken C, 8 vierflächige Ecken, von 
denen je 4 und 4 symmetrisch sind. 
Die Hauptaxe verbindet die beiden 
Ecken C, die beiden Nebenaxen verbin 
den je 2 Paar gegenüberliegende Ecken, 
in welchen die längeren Kanten A Zu 
sammentreffen. Die Ebenen, welche durch 
2 Paar einander gegenüberliegende End 
kanten gelegt werden sind Rhomben. 
Diophantische Gleichungen, diophan 
tische Aufgaben, (von Diophantus, 
einem Mathematiker einige Jahrhunderte 
vor Chr. Geburt, der diese Aufgaben er 
funden, oder sie zuerst gelöst haben soll) 
auch unter dem Namen Unbestimmte 
Analysis oder unbestimmte Ana 
lytik bekannt, sind Gleichungen oder 
Aufgaben, welche mehrere Resultate zu 
lassen, indem die unbekannten Gröfsen 
mit den bekannten nicht in so vielen 
Beziehungen gegeben sind als zu deren 
Bestimmung erforderlich ist, so dafs eine 
oder mehrere unbekannte willkührlich an 
genommen werden können. Einen Theil 
dieser Disciplin der Algebra macht die 
Blindrechnung, Regel coeci aus (s. d. 
Bd. 1, pag. 376.) Die Aufgaben bestehen 
darin, dafs eine oder mehrere Gleichun 
gen weniger gegeben sind als Unbekannte 
gefunden werden sollen. 
x -f- y — 10 
ist eine Aufgabe, die für x und y eine 
unendliche Menge Auflösungen zuläfst. 
Nimmt man x = 1 so ist y = 9; für 
x — 2, 3, 4 ... entsteht y — 8, 7, 6 ...; für 
x = — 1 wird y = + 11 u. s. w. Es sind 
hier 2 Unbekannte und nur eine Glei 
chung ist gegeben. 
Eine Gleichung vom 2ten Grade läfst 
2 Auflösungen zu, die beiden Unbekann 
ten sind aber ganz bestimmte der Na 
tur der Gleichung zukommende Gröfsen, 
daher ist solche Gleichung keine diophan 
tische Aufgabe; desgleichen nicht eine 
Gleichung vom nten Grade, welche n Un 
bekannte liefert, von denen aber keine 
willkührlich angenommen werden kann 
weil dieselben alle aus der Auflösung 
als ganz bestimmte Gröfsen hervorgehen. 
Die in dem Art. Blindrechnung aufge 
führten Beispiele gehören hierher. Es 
sollen nun noch einige andere hinzuge 
fügt werden. 
1. Es werden 2 Zahlen gesucht, deren 
Quadrate, wenn sie addirt werden, wie 
der eine Quadratzahl geben (Meyer Hirsch, 
pag. 262, No. 34). 
Die Aufgabe ist a 2 + b 2 = c 2 
oder auch a 2 = c 2 — 6 2 = (c 4- b)(c — b) 
Nun kann man a 2 ebenfalls als ein 
Product von 2 ungleichen Factoren be 
trachten, z. B. p 2 x q 2 und man kann den 
einen Factor c + b — p 2 und den anderen 
C - b = q 2 
setzen. Dann hat 
c -f b = p 2 
c - b — q 2 
hieraus 
! 
's, 
U 
«o 
Ol 
also 
nun ist 
a 2 — p 2 q 2 
also 
a — pq 
Die beiden gesuchten Zahlen haben 
und pq oder 
demnach die Form 
p*-r 
p 2 — q 2 und 2pq. 
Für p = 5, q = 1 ist a — 24; b = 10; 
a 2 + b 2 = 24 2 + 10 2 = 26 2 
2. Es mögen a und c ein paar Ratio 
nalzahlen bezeichnen: welche Rational 
zahlen können für x und y angenom 
men werden, wenn die Formel a 2 x 2 -f- cy 2 
ein vollkommenes Quadrat werden soll 
(Meyer Hirsch, pag. 263, No. 35). 
Setzt man 
a 2 x 2 -f- cy 2 — z 2 
schreibt cy 2 = z 2 - a 2 x 2 —(s -f- ax) (s—ax) 
setzt ferner y 2 = m 2 • ra 2 
nimmt cm 2 = z + ax 
,2- 
z — ax 
so erhält man cm 2 — n 2 — 2ax 
, cm 2 — n 2 
oder — = x 
2a 
hierzu mn — y 
und die allgemeine Form der Zahlen x 
und y ergibt sich wenn man beide Aus 
drücke noch mit 2a multiplicirt, 
x = cm 2 — n 2 
y=2amn 
Man kann diese von Mayer Hirsch an 
gegebenen Formen vereinfachen wenn 
man beide mit m 2 dividirt. Man erhält 
(n\ 2 
x=c — \ — I 
\m ' 
für 
die ganze Zahl n geschrieben 
y = 2 an 
x = c — n- 
und es ist 
a 2 x 2 -|- cy 2 =a 2 (c — w 2 ) 2 + c (2 an) 2 = a 2 (c -f- n) 2 
3. Man soll 2 Zahlen von einer solchen 
Beschaffenheit finden, dafs die Differenz 
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