Dodekaedralzalil. 
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Dodekaedralzahl. 
des Körpers 1,2, 3...nmal vergröfsert 
und zu diesen Kanten jeder Gröfse die 
zugehörigen Dodekaeder construirt. 
Es sei A eine der 20 Ecken mit den 
in ihr zusammentreffenden 3 fünfeckigen 
Begrenzungsebenen; Aa, Aa, Aa seien 
die 3 Kanten von der Länge = 1, die zu 
diesen gehörenden Fünfecke sind mit 
AnaaaA bezeichnet. Da nun das Dode 
kaeder 20 Ecken hat, so befinden sich 
auf dessen Oberfläche 20 Punkte und 20 
ist die Grundzahl der Dodekaedralzahlen. 
Da zugleich mit beliebiger Abnahme der 
Kanten Aa von A aus das Dodekaeder 
in dem Punkt A verschwindet, A nur 
einen Punkt gibt, so ist 1 die erste und 
20 die zweite D. 
Verlängert man nun die drei Kanten 
Aa um ihre eigene Länge Aa zu den 3 
Kanten Ab, Ab, Ab, so entstehen die zu 
gehörigen 3 Fünfecke, welche mit AbbbbA 
bezeichnet sind. Von den bis jetzt ge 
zeichneten 6 Fünfecken liegen immer je 
2 und 2 in einer Ebene; construirt man 
aber die zu Aa und die zu Ab gehören 
den beiden Polyeder, so haben dieselben 
nur die einzige Ecke A gemein, und die 
beiden Körper nehmen eine Lage zu ein 
ander an, wie Fig. 556 die beiden Zehn 
ecke Aa..aA und Ab ... bA: der eine 
Körper steckt in dem andern und beide 
sind an den 3 kleinen Oberflächen AbbbbA 
mit einander verbunden. 
Es kommt nun darauf an zu ermitteln, 
w'ie viele Punkte hinzugekommen sind. 
Aufser der Ecke A sind 19 neue Ecken 
gebildet worden, mithin sind hinznge- 
kommen 19 Eckpunkte; für die gleich 
grofs bleibende gegenseitige Entfernung 
der Punkte müssen alle Kanten wie die 
3 Kanten Ab noch einen Punkt in der 
Mitte erhalten, und da das Dodekaeder 
30 Kanten hat, so sind noch 27 Kanten 
punkte hinzugekommen. Nun müssen 
aber sämmtliche Begrenzungsflächen 2 
Punkte a in deren Mitte erhalten, bei 3 
Flächen findet dies schon statt. Das Do 
dekaeder hat 12 Begrenzungsflächen, folg 
lich kommen hinzu 9x2 = 18 Flächen 
punkte. In Summa kommen hinzu 
19 + 27 + 18= 64 Punkte 
und die dritte D. ist 
= 20 + 64 = 84. 
Verlängert man wie 
derum die 3 Kanten Ab 
um die Länge Aa = 1 
zu den 3 Kanten Ad, 
Ad, Ad, so entstehen 
die 3 zugehörigen Fünf 
ecke, welche mit AddddA 
bezeichnet sind. Von 
den bis jetzt gezeichne 
ten 9 Fünfecken liegen 
immer je 3 und 3 in 
derselben Ebene, die zu 
gehörigen Polyeder ha 
ben die Lage wie Fig. 
556 die 3 Zehnecke zu 
einander, ein Körper 
steckt in dem andern 
und alle 3 haben ihren 
einzigen Zusammenhang 
mit den 3 Fünfecksflä 
chen AddddA. Für die 
mit dem dritten Dode 
kaeder hinzugekomme 
nen Punkte hat man 
Folgendes. 
Es sind 19 neue Ecken mit 19 Punk 
ten hinzugekommen; die neuen Kanten 
erhalten wie Ad zwei Punkte in der Mitte, 
folglich zusammen 27 x 2 = 54 Kanten 
punkte; die neuen Flächen erhalten wie 
die 3 gezeichneten Flächen, 2 Punkte a, 
2 Punkte b und 3 Punkte c, zusammen 
7 Punkte, also überhaupt 9x7 = 63 Punkte. 
Die Anzahl der hinzugekommenen Punkte 
ist demnach 19 + 54 + 63 = 136 und die 
4te D. ist = 84 + 136 = 220. 
Das Gesetz für die Bildung der D. er 
gibt sich also aus folgender Reihe der 
immer neu hinzukommenden Zahlen, d. 
h. der Differenzen je zweier auf einander 
folgenden Dodekaedralzahlen: 
Fig. 565.