Congruenz der Dreiecke. 42 Congruenz der Dreiecke. 
dreier Stücke in zweien Dreiecken zu ken 
nen nöthig hat, um daraus die Gleichheit 
der übrigen 3 Stücke und die Congruenz 
der beiden Dreiecke zn folgern. Wie 
überhaupt die Elementargeometrie in ih 
ren Lehrsätzen überall die Aufgabe löst, 
aus der Beschaifenheit und dem Zusam 
menhang einzelner Raumgröfsen die Be 
schaffenheit und die Art des Zusammen 
hangs anderer mit jenen zusammenhän 
genden Raumgröfsen zu finden. 
So viele verschiedene 3 Stücke nun in 
2 Dreiecken als gleich gegeben sein kön 
nen, aus welchen die C. der Dreiecke 
hervorgeht, so viele Sätze (Lehrsätze) 
über die 0. der Dreiecke giebt es. 
Die als gleich zu gebenden 3 Stücke 
sind nun: 
1. drei Seiten, 
2. zwei Seiten und ein Winkel, 
3. eine Seite und zwei Winkel, 
4. drei Winkel. 
Diese 4 Bestimmungsfälle sind aber nicht 
alle geeignet, auf die C. der Dreiecke zu 
schliefsen; unmittelbar ist es nur der 
erste Fall. Wenn nämlich in 2 Dreiecken 
3 Seiten des einen den 3 Seiten des an 
deren Dreiecks einzeln gleich sind, so 
sind die Dreiecke 
Der zweite Bestimmungsfall: „Zwei Sei 
ten und ein Winkel “ schliefst in Bezie 
hung auf die Lage des gegebenen Win 
kels 2 Fälle in sich: Entweder der Winkel 
wird von beiden Seiten eingeschlossen, 
oder er liegt einer von beiden Seiten ge 
genüber. Im ersten Fall sind die Drei 
ecke Wenn nämlich in 2 Dreiecken 
2 Seiten des einen zweien Seiten des an 
deren Dreiecks einzeln einander gleich 
sind, und die von beiden Seiten einge 
schlossenen Winkel in beiden Dreiecken 
sind einander gleich, so sind die Dreiecke 
Der zweite Fall dagegen läfst Dreiecke 
zu, die nicht SS sind. Beschreibt man 
Fig. 309. 
nämlich aus A mit AB den Kreisbogen 
BD, zieht AD, so hat man in den beiden 
verschiedenen, also nicht congruen- 
ten Dreiecken ABC und ADCi 
AB = AD 
Dafs in diesem Falle 2 verschiedene Drei 
ecke möglich sind, liegt offenbar darin, 
dafs die Seite AB, die dem gegebenen 
C gegenüber liegt, kleiner ist als die 
gegebene zweite dem /_C anliegende Seite 
AC. Denn wird im A ABC mit den Sei 
ten AB und AC der Z B gegeben, wel 
cher der gröfseren Seite AC gegenüber 
liegt, so schneidet der Kreisbogen, der 
aus A mit AC beschrieben wird, die Seite 
BC erst in deren Verlängerung BE, und 
es entsteht das &ABE, in welchem zwar 
AB = AB, AE = AC, aber /_ ABE das 
Suplement von Z ABC ist, so dafs beide 
Dreiecke ABC und ABE nicht einerlei 
Winkel zu Bestimmungsstücken haben. 
Demnach erleidet dieser zweite Fall eine 
Einschränkung, und 2 Dreiecke sind 
wenn 2 Seiten des einen zweien Seiten 
des anderen Dreiecks einzeln einander 
gleich sind, und wenn die der gröfseren 
von beiden gegebenen Seiten gegenüber 
liegenden Winkel einander gleich sind. 
Der dritte Bestimmungsfall: „eine Seite 
und zwei Winkel“ bedarf der Einschrän 
kung, dafs die gleichen Winkel einerlei 
Lage gegen die gegebene Seite haben 
müssen; die Dreiecke sind also nur dann 
£§, entweder wenn beide gegebene Win 
kel der gegebenen Seite anliegen, oder 
wenn einer derselben der Seite gegenüber 
liegt, dafs der anliegende Winkel dem 
anliegenden und der gegenüberliegende 
Winkel dem gegenüberliegenden in beiden 
Dreiecken gleich ist. Denn nimmt man 
in dem A ABC von B aus den Z ABD 
= Z ACB = «, so hat man in den beiden 
nicht congruenten Dreiecken ABC u. ABD 
AB - AB 
Z CAB = z DAB 
Z ACB — Z ABD 
In dem A A/iCist « der Seite AB ge 
genüberliegend in dem A ABD ist « der 
Seite AB anliegend. 
Der vierte Bestimmungsfall: „Drei Win 
kel gleich “ giebt nur ähnliche Dreiecke, 
wie A ABC co fcabc, in welchen, wenn 
A fibc nach Abc verlegt wird, bc Ar BC ist. 
Die 3 Bestimmungsstücke, unter wel- 
Fig. 310.