Constructionen, geom. 
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Constructionem geom. 
A des Durchmessers eine gerade Linie 
gezogen, der aufserhalb des Kreises lie 
gende Theil derselben einer gegebenen 
geraden Linie a gleich werde. 
Fig. 399. 
Nimm auf dem Loth BD = a, beschreibe 
um Bl) den Kreis, ziehe aus A durch 
dessen Mittelpunkt C die gerade Linie AE, 
zeichne aus A mit AE den Bogen EE 
bis in die Richtung des Loths, so ist F 
der verlangte Punkt und in AE das Stück 
Fff = BD = a. 
Denn es ist AB 1 —AEx AE 
BE 2 = AEx EG 
daher AE- 
: - AB- + BE- 
= AEx AH + AEx EG 
hieraus 
1 E l - AEx EG-AEx AH 
oder 
AE (AE - EG) = AEx AH 
AEx AG - AE x AH 
oder da 
AF= AE 
AG — AH 
also auch 
AE-AG=AE-AH 
oder 
EG = HE = В D-n. 
84. Eine gegebene gerade Linie AB so 
zu theilen, dafs das Rechteck zwischen 
den beiden Theilen einem gegebenen Qua 
drat gleich werde. 
Fig. 400. 
Zeichne über AB den Halbkreis, errichte 
in einem Punkt, z. B. A auf AB das Loth 
AB = der Seite des gegebenen Quadrats, 
ziehe BE bis zur Peripherie Ф AB, fälle 
das Loth EE auf AB, so ist F der ver 
langte Theilpunkt, nämlich AEx BF=AD 2 . 
85. Eine gegebene gerade Linie AB um 
ein Stück zu verlängern, dafs das Rechteck 
zwischen der ganzen verlängerten Linie 
und dem Verlängerungsstück einem ge 
gebenen Quadrat gleich werde. 
Zeichne über AB den Halbkreis, errichte 
in einem Endpunkt z. B. B das Loth BD 
- der Seite des gegebenen Quadrats, ziehe 
aus dem Mittelpunkt C die gerade Linie 
Fig. 401. 
r \ 
D 
II 
Ll_l 
L 
' /• 
А 
CB, errichte in deren Durchschnittspunkt 
E mit der Peripherie auf CI) die Nor 
male EE bis in die Richtung von AB, 
so ist BF die verlangte Verlängerung, 
nämlich AEx BE = В 1) г 
Denn Д ВС В 28 Д FCE 
daher BD = ЕЕ 
und AEx BE = EF* = BD- 
86. Eine gegebene gerade Linie AB in 
zwei Theile zu theilen, so dafs das Qua 
drat des einen Theils = wird dem Rectan- 
gel zwischen dem anderen Theil und einer 
zweiten gegebenen geraden Linie BD. 
Fig. 402. 
Setze beide gerade Linien zu einer AD 
zusammen, beschreibe über AD und über 
BD Halbkreise, errichte in В die loth- 
rechte Ordinate BE, ziehe aus der Mitte 
C von BD die gerade Linie CE, in deren 
Durchschnittspunkt F mit der Peripherie, 
errichte auf CE die Normale EG bis in 
die Richtung AB, so ist G der Theilpunkt, 
nämlich 
AGxBB = BG 2 
Denn es ist 
BE 2 = AB X BD 
EGA = G В X Gl) 
Nun ist Д ВЕС 28 Д EGC 
daher BE = EG 
folglich AB X BD = GB X GD 
oder (AG f BG) x BD = GB x (GB + BD) 
also AG x BD = GB 2 
87. Eine gerade Linie AB so zu schnei 
den, dafs das unter der Ganzen und einem 
der beiden Abschnitte enthaltene Rect- 
angel dem Quadrat des übrigen Abschnitts 
gleich sei (Euklid II, 11).