Constructionen, trigonom. 80 Constructionen, trigonom. 
c mit c. Die drei gleichen Theile sind 
in den beiden äufseren («-f c) in dem 
mittleren 26. Dafs diese einander gleich 
sind, erhellt aus dem Folgenden. 
Bezeichnet man den Inhalt des Kreises 
mit 21, den des Halbkreises also mit I, 
so ist jeder Halbkreis über Aß und DE 
= a — (j) 2 / = £ 1; jeder Halbkreis über AD 
und EB — a + b = (l) 2 / = */; also c 
= = und A = ($-*)/ = $/. 
Mithin sind die Theile « + c = (£ + $-) / 
= fj / und der mittlere Theil 2 • b = 2 • §/ 
= § /; die 3 Flächenräume also einander 
gleich. 
Die Umfänge der Halbkreise verhalten 
sich aber wie deren Durchmesser, der 
ganze Halbkreis, also der um c — P ge 
setzt, ist der Halbkreis um a — } P- der 
um 6 = 1/*. 
Der Raum a + c hat also den Umfang 
P + ^ P + | P = 2P; der mittlere Raum 
26 hat den Umfang 2XjPt2x|P=r 2/* 
= dem Umfang des ganzen Kreises. 
Theilt man den Kreis allgemein in n 
Theile, so ist der erste Theil * /; der 
n l 
.. 4-1. 3 9-4 
zweite = ,1 = —=-/; der 3te = —z- / 
rr n* 
5 n 2 -(n-l) 2 2m- 1 
—5 /; der letzte = I = z— / 
»r « »r 
Yon diesen setzt sich der obere erste mit 
dem unteren letzten, der obere zweite mit 
dem unteren vorletzten u. s. w. zusam 
men; die n Theile sind also 
(-2 + 2w ^) / = - / ; (-2 + 
\n l n l ) n \n i ir ) 
= —I U. S. W'. 
n 
und man ersieht, dafs die Construction 
allgemein gültig ist, da auch die Umfänge 
sich als gleich grofs und gleich dem Kreis 
umfang sich ergeben. 
Constructionen, trigonometrische. In 
den Fig. 437 bis 440 sind die Kreise mit 
gleichem Halbmesser AC beschrieben, in 
4 Quadranten getheilt, die wie Fig. 437 
mit I. dem ersten bis IV. dem 4ten Qua 
drant bezeichnet sind. Es ist also ACß 
— 90°. Der Z. ACD = n wird von dem 
festen Schenkel AC aus construirt; 
der bewegliche Schenkel CD liegt 
Fig. 437 im ersten, Fig. 438 im zweiten, 
Fig. 439 im dritten und Fig. 440 im 
vierten Quadrant. Der Complementswin- 
kel zu n ist in Fig. 437 = + z BCD in Fig 
438, 439 und 440 = - Z ¿CD. 
Alle Linien wie DE, AG u. s. w. ste 
hen mit dem Halbmesser AC in geradem 
Verhältnifs, so dafs mit dem n fachen 
von AC auch DE, AG u. s. w. nfach so 
grofs werden. Für den Fall, dafs ^4C= 1 
ist, heifst DE der Sinus (sin) von <r, DE 
der Cosinus (cos) von «, AG die Tangente 
(■lg) von c, BH die Cotangente (cot) von 
n, CG die Secante (sec) von «, CH die 
Cosecante (cosec) von a, und die Linien 
DE, DF u. s. w. mit der Linie AC ver 
glichen, geben bildlich Verhältnifszahleu 
zu der Zahl 1. Setzt man AC-r so ist 
offenbar DE — r • sin «■ DF — r • cos i< 
u. s. w r . d. h. sie sind wirkliche Längen, 
die mit der Länge r in gewissen Verhält 
nissen stehen, und diese zunächst sollen 
hier für die vier Figuren, w r elche sämrnt- 
liche Fälle enthalten, construirt werden. 
I. Fälle von dem Endpunkt D des be 
weglichen Schenkels CD ein Loth DE 
auf den festen Schenkel AC, so ist DE 
= r • sin «. 
Fig. 437. 
II. Fälle von dem Endpunkt D des 
beweglichen Schenkels CD auf den festen 
Schenkel BC des Complements- Winkels 
BCD ein Loth DF, so ist DF^r-cos u. 
Für DF kann auch die ihr gleiche Linie 
CE gesetzt werden. 
Fig. 438. 
III. Errichte auf dem festen Schenkel 
AC in dessen Endpunkt A ein Loth AG 
bis in die Richtung des beweglichen Schen 
kels CD, so ist AG = r ■ tg «. 
IV. Errichte auf dem festen Schenkel 
BC den Complemeutswinkel BCD in des 
sen Endpunkt B ein Loth BH bis in die 
Richtung des beweglichen Schenkels CD. 
so ist BH — r • cot