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von denen jede m Elemente zählt, werden zur p ten Klasse gebildet. Wie 
grofs ist die Anzahl der Gruppen, worin wenigstens k Elemente in der 
Reihenfolge ihrer Stellenzahlen erscheinen? 
Kommen wir auf die zu Ende des vorigen §. gemachten Bemerkun 
gen zurück, so folgert sich leicht, dafs jede der auflösenden Gruppen 
mit derjenigen Potenz von r vervielfacht werden mufs, welche die Dimension 
der darin vorkommenden Elemente angibt. Die Symbole G x , G 2 , G 3 ... 
S,, S 2 , S 3 ...deuten daher auf die Potenzen r k , r 2k ,... r k + 1 , r 2 ^ 1 ,... Die 
Gruppenzahl der Versetzungen aus r Elementen-Reihen zur p ten Klasse 
ist bekanntlich (rm)pi —1 , die aber zur q ten , wenn x Elemente ausge- 
stofsen sind, ist (rm—x^) q ‘—!. Hiernach ergibt sich die gesuchte Grup 
penanzahl, wenn die in 2 und 4 gefundenen Darstellungen, wie diefs 
hier geschehen mufs, gewählt werden 
12 ) A = B' — C' + D' — E' +.... 
= (p-k-J-1) (m-k-j-l)r k (rm-k) p-k| ' 1 — (p-k) (m-k) P+^rm-k-l) 5 *“' 11 ' 1 
- [^y = i^(m-2k+l) 211 r 2k (rm-2k) p " 2k:_l - 2 ( -^^ 1 (m-2k) 2il r 2k+1 (rm^k-l)*"*- 11 - 1 ...] 
-f- fp-2k-f 1) Cm-2k-f-l) r 2k Crm-2k) p_2k|-1 — fp-2k) Cm-2k)r 2k+1 Crm-2k-l) p-2k " 1 
Hieraus ergibt sich nach 10 leicht die Anzahl der Gruppen, worin 
unter den genannten Bedingungen hintereinander k Elemente wenigstens 
r und höchstens s mal erscheinen. Wird 12 durch die Zahl aller mög 
lichen Gruppen gemessen, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dafs 
wenigstens k Kugeln hintereinander in der Reihenfolge der Zahlen er 
scheinen werden, wenn p mal aus einer Urne gezogen wird, welche r Ku 
gelarten enthält, von denen jede die Zahlen 1, 2, 3... m trägt, und die 
gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgeworfen wird, 
W _ (p-k+1) Q-k+1) r k (p-k) (m-k)r k+l 
1J (rm) k|_1 (rm) k+1 -l 
r(p-2k+l) 211 Cm-2k-H) 211 r 2k n Cp-k) 2|, (m-2k) 2l, r 2k+1 (p-2k-l) 2il (m-2k-l) 2 ' l r 2k+2 -| 
L l 21 (rm) 2kM + l 2 ' 1 ( rm ) 2k + 21 -' J 
, (p-2k+l)(m-2k+ljr ik (p-21Q (m-2k) r 2k+1 
' (rmJ 2K| ~ l (rm) 2k+1 i~ l 
§. 3. 
Die Versetzungen mit Wiederholungen aus m Elementen werden