nlehre. 
Raumlehre. 
Raumlehre. 
ir zuletzt als Resultat 
und Deductionen ge- 
der Euklidischen Me 
iler erstere Weg ge- 
n Lehrbüchern geht 
en ah (jedoch ist auch 
;lichkeit hierzu durch 
olion gegeben). Die 
3 Euklid befolgt, ist 
ste, wenn der Beweis 
rand an Construction 
n verschiedene Sätze, 
sind, erfordert. Es 
sin der vorher ange- 
irmaassen das natür- 
i als Zielpunkt diese 
rehen, welche ohne 
Zweckes als zufällig 
chwebend erscheinen 
;en der Beweis nur 
; auf ungezwungene 
ne Sätze sich an, so 
¡er, wie ja auch jetzt 
hohem Theilen der 
ithematik im Allge- 
hieht — die Beweis- 
• Betrachtung an den 
atz, auf welchen sich 
zuknüpfen und dann 
Satz folgen zu lassen, 
lentlich auch oft, in 
ehrere Sätze durch 
tel abzuleiten, 
sagen, dass von der 
de desto mehr abge- 
äs, je mehr das Sy 
lt und Natürlichkeit 
en der Wissenschaft 
miss eines guten Be- 
e, Kürze und Durch- 
l dies namentlich er- 
ide Aufeinanderfolge 
dehung auf mehrere 
rzt oft den Vortrag 
e Auflösungen der 
so ist hei einer gu- 
t allein erforderlich, 
curz mittheilen, son- 
auch in möglichster 
asse. Letzteres ist 
wenn man dieselbe 
r früheren Aufgaben 
jede eine neue Con- 
;ht, und es oft mög- 
Erleichterungen ein- 
diese als ein Ganzes 
werden dann näm- 
, welche eine Con- 
n einer vorangegan- 
i sein können. Billig 
isung sich bestreben, 
dies anzugeben, nnd so zu zeigen, wie 
das beabsichtigte Ziel am einfachsten 
sich erreichen lasse. Selbstverständlich 
muss die Aufgabe immer vor der Auf 
lösung genannt sein. Dagegen kann 
man statt der letztem den Beweis folgen 
zu lassen, derselben eine Betrachtung 
voranschicken, welche schrittweise zur 
Erreichung des Zieles führt. Dergleichen 
Betrachtungen machen sich oft sehr be 
quem, wenn man die Aufgabe als bereits 
gelöst annimmt, und von diesem Ziele 
zurückgehend Beziehungen.zwischen den 
jenigen Grössen, welche gesucht sind, zu 
denen ermittelt, welche sich zu einer Lösung 
verbinden lassen. Dies Verfahren bezeich 
nen die griechischen Mathematiker als geo 
metrische Analyse. Sie ist dem Verfahren 
in der Algebra zu vergleichen, wo die 
unbekannten Grössen ebenfalls als be 
kannt angenommen werden, und man 
von ihnen ausgehend die Lösung zu er 
reichen sucht. Gcwissermaassen durch 
Umkehrung der Analyse folgt dann die 
Auflösung. Wenn die alten derselben 
noch einen Beweis folgen lassen, so ist 
dies streng genommen überflüssig, da 
die Analyse ja schon die Auflösung be 
gründen muss. 
An die Haupttheile des Systems: Lehr 
satz und Aufgabe knüpfen sich nun 
nachfolgende Nebenglieder im Euklidi 
schen Systeme. 
Das Axiom oder der Grundsatz, ein 
Satz, der keines Beweises bedarf oder 
keines Beweises fähig ist. Dasselbe ist 
der Fall bei den einfachen Wahrheiten, 
welche den Anfängen der Mathematik 
oder im besondern der Geometrie zu 
Grunde liegen. Dergleichen Grundsätze 
sind z. B. die : 
„Der Raum hat 3 Dimensionen.“ 
„Zwischen zwei Punkten ist eine Grade 
immer möglich.“ 
Gewöhnlich rechnet man auch dazu 
die rein logischen Sätze von der Gleich 
heit, die in der Mathematik so oft An 
wendung finden. 
Zwei Grössen, die einer dritten gleich 
sind, werden unter einander gleich sein. 
Das Ganze ist gleich der Summe sei 
ner Theile. 
Gleiches zu Gleichem gezählt, oder von 
solchem abgezogen gibt gleiches. 
Indessen mag man dieselben einfach 
aus der Definition der Gleicheit ableiten 
können: 
„Zwei Grössen werden gleich genannt, 
wenn man die eine für die andere 
setzen kann.“ 
Zuweilen zweigt man von den Axio 
men auch ab: 
Das Postulat. Man versteht unter 
demselben die geforderte Auflösung oder 
Möglichkeit der Auflösung einer einfachen 
Aufgabe. 
Es ist also z. B. Postulat: 
„Zwischen zwei Punkten eine Grade 
zu ziehen.“ 
und setzt dieselbe das Axiom, dass solche 
Grade immer möglich sei, voraus. Von 
den Lehrsätzen zweigt man noch ab: 
Den Zusatz (Corollarium), ein ein 
facher Satz, der augenblicklich aus einem 
Lehrsätze folgt. 
Den Lehnsatz (Lemma), ein einem 
andern als dem grade behandelten Ge 
biete entnommener Satz, welcher zur 
Lösung einer Aufgabe nöthig ist. 
Für Lehrsatz, Lehnsatz und Aufgabe 
hat man auch den gemeinschaftlichen 
Namen: Proposition. 
Zu diesen Theilen kommt noch: 
Das Scholion, eine Betrachtung ir 
gend einer Art, also z. B. eine Erwei 
terung oder eine Beschränkung, welche 
sich an irgend einen Satz knüpft. 
Die Euklidische Methode in den hier 
gegebenen Sätzen ist also als etwas rein 
Aeusserliches zu betrachten, und bezieht 
sich eben nur auf die Art, wie die geo 
metrischen Wahrheiten und ihre Be 
gründung mit einander verbunden wer 
den, namentlich auf die Reihenfolge. — 
Indessen muss auch die ganze Art und 
Weise der Ableitung, deren sich Euklid 
bedient, in ihrer Innern Beziehung auf 
gefasst und von andern Methoden unter 
schieden werden. Man bezeichnet hier 
bei die Euklidische Weise als synthetische 
Geometrie und setzt ihr entgegen die 
analytische Geometrie, als deren Be 
gründer Descartes anzusehen ist. — Der 
Unterschied zwischen beiden Methoden 
ist folgender. 
Die synthetische Geometrie gewinnt 
ihre Resultate hauptsächlich durch Be 
trachtungen, welche an die Raumgrössen 
als solche anknüpfen, also aus den Be 
griffen der Deckung und Aehnlichkeit, 
während die analytische Geometrie nur 
weniges den Raumgrössen als solchen 
entnimmt, und ihre Eigenschaften so viel 
als möglich auf Sätze zurückführt, die 
der allgemeinen Grössenlehre (Arithmetik, 
Algebra) entnommen sind. Es geschieht 
dies (wie zu seiner Zeit weiter ausge 
führt werden soll), indem Linien und Flä 
chen als eine Reihe von Punkten be 
trachtet werden, die man durch ihre 
Entfernung von oder sonstige Beziehung 
zu gewissen als unveränderlich betrach-