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Raumlehre. 
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Raumlehre. 
g. 79. 
punkte befindet, wel- 
direiben immer in die 
durch einen Buchsta- 
alb des Winkelraums 
kein Missverständniss 
kann man auch den 
efindlichen Buchstaben 
l verwenden, 
i und Satz. Wenn 
kel eines Winkels P 
rt, so schliessen die 
?. 80. 
len zweiten Winkel Q 
Scheitelwinkel von P 
„ Scheitelwinkel sind 
lie Schenkel des einen 
n der Schenkel des 
offenbar den gemein- 
vinkel R. Sie werden 
Winkel zu einem ge-, 
nd sind folglich gleich. 
Satz : 
Jede zwei zusammen- 
nkel sind gleich.“ 
und Definitionen, 
i Linien, dass sie sich 
3 einen Punkt gemein 
n. die sich schneiden, 
tan sie ins Unendliche 
hin verlängert, dem- 
r inkel ein (P, Q, R, S), 
zwei P und Q einer- 
! andrerseits Scheitel 
sind, von denen ferner 
i Q, S oder P, S und Q,R 
ilso zusammen je einen 
¡1 betragen, und die 
deshalb alle vier zusammen einen vollen 
oder vier rechte Winkel betragen. — 
Es können aber auch zwei Linien (Fig.81) 
Fig. 81. 
in einer Ebene liegen und sich in keiner 
Verlängerung schneiden, wie AB und 
RD. „Solche Linien werden parallel ge 
nannt.“ Das Zeichen der Parallelität 
zweier Linien ist folgendes: =j=. 
IV. Definitonen. Werden zwei 
Linien (Fig. 82) AB und CD von einer 
Fig. 82. 
dritten EP' geschnitten, so entstehen an 
jedem der Schnittpunkte vier, also im 
Ganzen acht Winkel. Von diesen nen 
nen wir diejenigen vier, welche zwischen 
den beiden geschnittenen Linien liegen, 
also y, d, t, £ innere Winkel, die andern 
vier also «, ß, r„ fr äussere Winkel. Wir 
bezeichnen jede zwei äussern und jede 
zwei innern Winkel als gleichartige, 
einen äussern und einen innern dagegen 
als ungleichartige, und unterscheiden in 
ihrer Beziehung zu einander noch fol 
gende Arten von Winkeln: 
A) Gegenwinkel heissen je zwei 
gleichartige Winkel auf einer Seite der 
schneidenden Linie aber an verschiedenen 
Schnittpunkten. 
Zusammengehörige Gegenwinkel sind 
also: a und t, y und rj, ß und £, d und fr. 
B) Wechselwinkel heissen je zwei 
gleichartige Winkel auf verschiedenen 
Seiten der schneidenden Linie und an 
verschiedenen Schnittpunkten. 
Zusammengehörige Wechselwinkel sind 
also: n und fr, ß und rj, y und t, « und d. 
V. Lehrsatz 2. Werden zwei Linien 
von einer dritten geschnitten, und es sind 
zwei Gegenwinkel oder zwei Wechsel 
winkel gleich, so sind alle zusammen 
gehörigen Gegenwinkel und Wechsel 
winkel gleich. 
Beweis. Seien zunächst zwei Ge 
genwinkel gleich, also etwa «= #, so 
sind auch deren Nebenwinkel gleich, 
also y — rj, und die Nebenwinkel von die 
sen olso d'= fr, endlich die Nebenwinkel 
auch von diesen, also ß ~ £. Es sind 
also in der That alle Gegenwinkel gleich. 
Was nun die Wechselwinkel anbetrifft, 
so ist n — d als Scheitelwinkel, mithin 
auch d = t. Deren Nebenwinkel sind 
y und £, also y = £, und als Neben 
winkel von diesen a = fr, endlich ß — rj 
wieder als Nebenwinkel der zuletzt ge 
nannten. — Es sind also auch alle 
Wechselwinkel gleich. — Nehmen wir 
jetzt an, es seien zwei gleiche Wechsel 
winkel gegeben, also etwa d — t, so ist 
a = d als Scheitelwinkel, folglich « = s, 
und da dies Gegenwinkel sind, so folgt 
aus dem Vorigen die Gleichheit aller 
übrigen Gegen- und Wechselwinkel. 
VI. Lehrsatz 3. Werden zwei Linien 
von einer dritten geschnitten, und es sind 
zwei Gegenwinkel oder zwei Wechsel 
winkel (mithin alle Gegen - und Wechsel 
winkel) gleich, so sind die geschnittenen 
Linien parallel. 
Beweis. Nehmen wir an die ge 
schnittenen Linien AB und OD (Fig. 83) 
Fig. 83. 
G't G B 
A 
/ 
V 
0 
'f 
wären nicht parallel, so müssten sie sich 
auf einer Seite der schneidenden Linie 
EF schneiden, z. B. in K. Man denke 
sich nun den Theil der Figur AG^Hß 
auf DHGB so gelegt, dass AG t in DH 
und Punkt in // fällt, so werden 
auch die andern Schenkel G i H l und 
HG der Winkel AG X H t und DHG zu- 
samraenfallen, da diese Winkel Wechsel 
winkel und also gleich sind. Da aber 
die Linien GH und H t G^ gleich sind,