Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Rt 
(beide Bezeichnungen stellen ja dieselben 
Linien vor), so müssen auch die andern 
Endpunkte und G zusammenfallen, 
also die einen Schenkel und die Scheitel 
punkte der Winkel HGB und G l H t O. 
Es sind aber diese Winkel gleich, und 
somit fallen auch deren andere Schenkel 
GB und H l O zusammen. Da nun auch 
AG t mit HD zusammenfällt, so werden 
die Linien AG l und 0f/ L sich schneiden 
müssen, da die mit ihnen zusammenfal 
lenden DH und GB sich schneiden, und 
daraus würde folgen, dass die graden 
Fig. 
Linien AB und OD sich nicht allein in 
K sondern auch auf der andern Seite 
von EF schneiden. Zwei grade Linien 
können sich aber nur in einem Punkte 
schneiden, und somit ist überhaupt kein 
Schnittpunkt K möglich. Es sind also 
die Linien AB und OD parallel. 
Scholion. Es ist dieser Beweis im 
Gegensätze zu den his jetzt vorgekomme 
nen ein indirecter. 
VII. Lehrsatz 4. Denkt man sich 
zwei parallele Linien AB und CD, welche 
von einer dritten EF (Fig. 84) ge- 
84. 
schnitten werden, nach beiden Seiten 
von derselben ins Unendliche verlängert, 
so entstehen die Räume BGHD und 
AGHC, die allerdings nicht vollständig 
begrenzt sind. Es lässt sich nun zeigen, 
dass wenigstens einer dieser Räume ge 
gen den von dem darüber liegenden Winkel 
EGB oder EGA gebildeten Raum ver 
schwindend klein ist. 
Beweis. Es sind hierbei drei Fälle 
möglich. 
Entweder der Winkel EGB ist gleich 
GHD, oder EGB ist grösser als GHD, 
oder endlich EGB ist kleiner als GHD, 
Nehmen wir zunächst das erste an. 
Man kann dann das Stück B'G'HD 
auf EGB so gelegt denken, dass H in 
G, HD mit GB zusammenfällt; es wird 
dann auch G’H auf EG fallen, da die 
Winkel G'HD und EGB gleich sind. 
Nimmt dann für G’B' die Lage G"B" an, 
so ist offenbar Winkel EG"ß" mit EGB 
identisch. In den Winkelraum EG"B" 
wird nun B"G"GB oder B'G'HD so 
gelegt, dass wieder H mit G" und HD 
mit G"B" zusammenfällt, es wird dann 
wieder gezeigt werden können, dass GB 
in die Lage G'"B'" fällt, und fährt man 
so fort, so werden die Linien ins Unend- 
endliche erstreckt, in dem Winkel EGR un 
lieb viel Räume, BGG"B", B'"G"G'"B" 
enthalten sein, deren jeder gleich B'G'HD 
ist. Mithin ist dieser Raum gegen den 
Winkel EGB unendlich klein. — Sei 
jetzt (Fig. 85) Winkel EGB grösser als 
GHD. Man legt dann das Flächenstück 
B'G'HD so auf EGB, dass Punkt II in 
G, G' in G", also die Linie G und GH 
in einer Richtung fallen, es muss dann 
HD innerhalb des Winkelraumes FGB, 
also in die Lage GD' fallen, da Winkel 
GHD kleiner als EGB ist, während G'ß' 
in die Lage G"B" fällt, und Winkel 
EG"B"—EGB ist. Legt man in Winkel 
raum EG"B" wieder DHG'B', so dass 
HD in die Lage G"D", G'B' in die 
Lage G'"B'" fällt, und fährt so fort, so 
wird der Winkelraum EGB in unendlich 
viel Räume BGG 
getheilt, die alle 
der grösser als 
Dieser Raum 
den von Winki 
schwindend klei 
Sei endlich 1 
EHD, so wird E 
von EHC zu ei 
es ist also W 
EHC, und sora 
Flächenraum ^ 
schwindend klei 
Lehrsatz, Zt 
YIII. Lehr 
parallele Linien 
schnitten, so sin 
Gegenwinkel u 
Beweis. I 
dass ein Paar 
ist, da sich da 
— Seien die Ge 
nicht gleich, 
grösser als Ei 
da man im Fa 
wäre, man ni