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hre. 
ei durch eine von 
begrenzte Grade 
heisst das ent- 
i vollständiges 
ndiges 3-eck, 4-eck 
ennt man die Ver- 
n, die gegebenen 
ed zwischen einem 
und einem Vieleck 
rsteren die graden 
t bei dem andern 
werden. Ein voll- 
iucht selbstredend 
i liegen. 
Theil der Ebene, 
zt ist, heisst Figur, 
er Figur kann aus 
oder aus krummen 
»estehen. Eine nur 
grenzte Figur heisst 
heisst auch Vieleck 
Viereck .. . n-eck, 
, n Linien begrenzt 
e Bezeichnung n-eck 
sinn hat, so ist ein 
löglich, da dem in 
hteten Gebilde die 
dig hinzugefügt ist. 
le eine Figur be 
ten ; sie sind immer 
men. Die Punkte, 
en Zusammentreffen, 
i man entstanden 
Fig. 86 und 87) von 
86. 
Ebene heimlicher 
m ersten A mit dem 
:n mit dem dritten 
nt E wieder mit dem 
B, BC u. s. w. sind 
Figur. Die Seiten 
begrenzt, und zwar 
e Ecken. Es wird 
der Eckpunkte mit 
Raumlehre. 
Fig. 87. 
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Raumlehre. 
Fig. 88. 
zwei und nur zwei anderen durch eine 
Grade verbunden sein. Eine grade Linie, 
welche zwei Ecken verbindet, ohne eine 
Seite zu sein, wie ÄC oder AD heisst 
Diagonale der Figur. 
Ein Vieleck hat eben so viel Seiten 
als Ecken, da hier die erste Ecke mit 
der zweiten, die zweite mit der dritten, 
endlich die letzte mit der ersten durch 
eine Seite verbunden ist. 
Welchen Punkt man bei der Bildung 
eines Vielecks als den ersten, welchen 
als den darauf folgenden u. s. w. 
annimmt, ist im Allgemeinen beliebig. 
Jedoch versteht man gewöhnlich unter 
Vieleck nur solche Figuren, wo die Sei 
ten (natürlich so lange sie nicht verlän 
gert werden) nur in den ursprünglich 
gegebenen Eckpunkten Zusammentreffen, 
also einander nicht durchschneiden. 
Diese Bedingung ist nicht erfüllt, wenn 
(Fig. 87) z. B. die Seiten DE und DC 
die Linie AB in a und b durchschneiden. 
Im Allgemeinen Avird in der elemen 
taren Geometrie von der Betrachtung von 
dergleichen Vielecken Abstand genommen. 
An jeder Ecke eines Vielecks befindet 
sich ein Winkel, welchen man Vieleks- 
winkel, (Polygomvinkel) nennt. 
Da zwei Linien, welche sich schneiden 
einen Winkel, also kein endliches und 
völlig begrenztes Stück der Ebene ab 
schneiden, so muss ein Vieleck wenig 
stens drei Seiten haben, und wird dann 
Dreieck genannt. — Jedes andere Viel 
eck lässt sieh in Dreiecke zerlegen. Er 
füllen seine Seiten die eben gegebene 
Bedingung, so kann dies durch diejenigen 
Diagonalen geschehen, Avelche von einem 
Endpunkte gezogen sind, z. B (Fig. 86) 
durch die Diagonalen AC, AD. 
Seien (Fig. 88) aber unter den Polygon 
winkeln solche, die grösser als ein ge 
streckter sind, wie AFE und BCD, so 
kann, wenn man die Diagonalen zieht, 
das Vieleck möglicher Weise statt durch 
eine Summe, durch eine Differenz von 
Dreiecken ausgedrückt werden: so ist 
ABCDEF = Dreieck ABC+ACD+ADE 
— AEF. In diesem Falle können die ab 
gezogenen Dreiecke als negativ betrachtet 
werden. 
D) Ein Vieleck heisst regelmässig, 
wenn alle Polygonwinkel und alle Seiten 
desselben unter einander gleich sind. 
Es heisst gleichseitig, wenn alle 
Seiten gleich sind. 
E) Ein Dreieck heisst gl ei chs chenk- 
lig, wenn zwei Seiten desselben gleich 
sind. Ein Dreieck, welches weder gleich 
seitig noch gleichschenklig ist, heisst un 
gleichseitig. 
F) Die Dreiecke Averden auch nach 
der Beschaffenheit ihrer Winkel einge- 
theilt. Ein Dreieck heisst rechtwink 
lig, wenn es einen rechten Winkel 
enthält, stumpfwinklig, wenn es 
einen stumpfen, spitzwinklig, wenn 
es nur spitze Winkel enthält. 
Zur Begründung dieser Definitionen 
ist, Avie bald geschehen Avird, noch zu 
zeigen, dass in jedem Dreiecke wenig 
stens zAvei spitze Winkel vorhanden sind. 
II. A ufgaben und Lehrsätze. 
Aufgabe 1. Die Anzahl der Eck 
punkte eines vollständigen n-seit zu finden, 
Auflösung. Jede Seite des n-seit 
schneidet alle n—1 übrigen; man würde 
also für jede der n Seiten n—1, also im 
Ganzen n (n — 1) Schnittpunkte haben. 
Da aber unter diesen Schnittpunkten so 
wohl der vorkommt, wo irgend eine 
Seite AB eine andere BC, als der, wo 
die letztere BC die erstere AB schneidet, 
diese Punkte aber zusammenfallen, so 
Avird sich die Anzahl der Schnittpunkte 
auf die Hälfte von n (n—1) beschränken, 
, n(» —1) 
gleich —^ 
und diese Anzahl sei