¡ehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
nkten immer jeden 
lern folgenden ver- 
lerst (Fig. 93) eine 
n A, B, C, D, E, F, 
n. Von den Viel- 
»tsächlich noch die 
;. Die Summe der 
solchen beträgt also 
Viereck hat ferner 
n vollständiges Vier- 
id in einem Viereck 
er parallel, so heisst 
gramm. Sind nur 
i parallel, so heisst 
in einem Parallelo- 
rechte, so heisst 
) 1 o n g ) ; sind alle 
heisst es Raute 
n diese beiden letzt- 
ungen erfüllt, so 
■allelogramm Qua- 
lerselben erfüllt, so 
h o m b o i d genannt, 
Congrucnz der 
ng und Defini- 
allgemeinen Dcfini- 
sind Dreiecke dann 
so auf einander ge- 
lass sie sich decken, 
üidich die entsprc- 
Winkel zusammen 
in, und umgekehrt, 
o werden sich die 
der gelegt decken, 
ruenz von Dreiecken 
Vielecken lässt sich 
llen, dass alle ent- 
id Winkel des einen 
ich sind. Die Lehre 
der Dreiecke hat 
;n, dass man schon 
von einigen dieser 
Stücke auf die Congruenz, also auch auf 
die Gleichheit der übrigen schliessen 
könne. Wenn man weiss, dass aus ge 
wissen Stücken (den drei Seiten und den 
drei Winkeln) eines Dreiecks sich über 
haupt nur ein Dreieck bilden lasse, so 
ist auch klar, dass jedes andere, welches 
diese Stücke ebenfalls hat, dem gege 
benen Dreiecke congruent sei. — Schliess 
lich merken wir noch um Weitläuftigkeit 
zu vermeiden folgende Definitionen. — 
Jeder Winkel eines Dreiecks hat zu 
Schenkeln zwei Seiten desselben. 
Die dritte Seite nun, welche nicht 
Schenkel eines gegebenen Winkels ist, 
heisst Gegenseite desselben, und um 
gekehrt nennt man Gegenwinkel 
einer gegebenen Seite, denjenigen Winkel, 
dessen Schenkel dieselbe nicht ist. — 
Das Zeichen der Congruenz ist 
II. Lehrsätze. Wenn in einem 
Dreiecke ein Winkel A (Fig. 94) und die 
Fig. 94. 
Länge seiner Schenkel AB und AC ge 
geben sind, so sind offenbar die anderen 
Endpunkte der letzteren B und C völlig 
bestimmt. Da nun zwischen B und C 
sich nur eine Grade BC ziehen lässt, so 
ist diese Linie ihrer Länge und ihrer 
Lage nach völlig bestimmt, also auch 
das ganze Dreieck kann nur einerlei 
Gestalt haben, und jedes andere, welches 
Winkel A und Seite AB und AC hat, 
ist ihm congruent. Dies giebt den ersten 
Satz von der Congruenz: 
Lehrsatz 1. „Wenn in zwei Drei 
ecken zwei Seiten und der eingeschlos 
sene Winkel des einen den entsprechen 
den Stücken des andern bezüglich gleich 
sind, so sind die Dreiecke congruent.“ 
Ist Seite AB gegeben und dazu die 
anliegenden Winkel A und B, so ist 
auch die Richtung der Linien AB und AC 
völlig bestimmt, und da sich zwei gege 
bene Linien nur in einem Punkte schnei 
den können, so ist auch der Schnittpunkt C, 
mithin das ganze Dreieck ein völlig be 
stimmtes, jedes andere, worin eine Seite 
und die beiden anstossenden Winkel be 
züglich mit AB, A und B übereinstim 
men, ihm congruent. — Dies gäbe einen 
zweiten Lehrsatz von der Congruenz, 
den wir aber noch etwas allgemeiner 
ausdrücken wollen. Wenn in zwei Drei 
ecken zwei beliebige Winkel bezüglich 
gleich sind, so muss dies offenbar auch 
mit den dritten stattfinden, denn diesen 
dritten erhält man ja, wenn man die 
Summe der beiden gegebenen, also für 
beide Dreiecke dieselbe Grösse von zwei 
Rechten abzieht. Wenn also in zwei 
Dreiecken eine Seite und zwei beliebige, 
aber gleichliegende Winkel übereinstim 
men, so werden jedenfalls auch die der 
gegebenen Seite anliegenden Winkel 
gleich sein. Also: 
Lehrsatz 2. „Zwei Dreiecke sind 
congruent, wenn eine Seite und zwei 
Winkel des einen den entsprechenden 
(gleichliegenden) Stücken des andern 
bezüglich gleich sind.“ 
III. Definition und Lehrsätze. 
Es sollen aus den eben gegebenen Sätzen 
einige Folgerungen für gleichschenklige 
und gleichseitige Dreiecke gezogen wer 
den. — Wir merken zunächst folgende 
Bezeichnungen: 
Die den andern ungleiche Seite eines 
gleichschenkligen Dreiecks wird Grund 
linie oder Basis, der Eckpunkt, welcher 
dem Gegenwinkel der Grundlinie ent 
spricht, Spitze genannt. Die beiden glei 
chen Seiten nennt man zuweilen auch 
Schenkel. AB und A C (Fig. 95) sind 
Fig. 95. 
die Schenkel, AE die Grundlinien, B die 
Spitze. — Denkt man sich jetzt den 
Winkel B an der Spitze durch Linie 
BD in zwei gleiche Theile getheilt, so 
entstehen zwei Dreiecke ABD und CBD, 
in diesen ist AB = BC, und CD beiden ge 
meinsam, ausserdem Winkel ABD = CBD- 
es sind also zwei Seiten und der ein 
geschlossene Winkel gleich. Somit hat 
man den Satz: 
Lehrsatz 3. „Wenn man den Winkel 
an der Spitze eines gleichschenkligen