ehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
r eine Linie von B 
hen, also: 
3ie Linie, welche 
seht auf die Grund- 
tialbirt die letztere 
ler ersteren.“ 
m, in Dreieck ABC 
A = C. Wir hal- 
rkel B durch Linie 
len dann ebenfalls 
eiecke ABD und 
bei B, A = C und 
also entsprechend 
eichliegende Winkel 
ichliegende Stücke 
und CB, also ein- 
iie Umkehrung des 
i: 
r enn in einem Drei- 
;ich sind, so sind 
ten gleich. (Das 
rschenklig.)“ 
¡nd noch folgende 
lüpfen. — Ist AC 
ige Linie, BD aus 
gezogen, und ein 
nm BD mit A und 
Sehen die congruen- 
id CBD. In ihnen 
, BD — BD, Winkel 
te, also zwei Seiten 
ene Winkel gleich, 
die gleichliegenden 
leich, d. h. Punkt B 
fich weit entfernt. 
Venn man aus der 
slinie zweier gege- 
enkrechte auf der-' 
st jeder Punkt der 
gegebenen Punkten 
ich keinen Punkt 
i, der von A und 
; wäre. Denn wäre 
sr, so könnte man 
von denen die er- 
stere BD in F schneidet, und wäre 
dann nach unserem Satze AF ~ CF, nach 
der Annahme aber AE= CE= CF-^-FE 
— AF+FE. Mithin die grade Linie AE 
gleich der gebrochenen AFE, was un 
möglich ist, da die grade die einzige 
kürzeste zwischen zwei Punkten ist. 
Eine Linie, welche alle Punkte und 
nur solche Punkte enthält, welche eine 
gewisse Eigenschaft gemein haben, nennt 
man Ort dieser Punkte. Es folgt also 
aus dem Vorigen : 
Lehrsatz 11. „Die aus der Mitte 
der Verbindungslinie zweier Punkte ge 
zogene Senkrechte ist der Ort aller Punkte, 
welche von den gegebenen gleich weit 
entfernt sind.“ 
hat auch drei gleiche Winkel, deren jeder 
2 
—- liechte beträgt. Das gleichseitige 
o 
Dreieck ist mithin zugleich ein regel 
mässiges.“ 
Sind in einem Dreiecke alle Winkel 
gleich, so sind nach Lehrsatz 9. je zwei 
Seiten, mithin alle drei unter einander 
gleich. 
Zusatz 2. „Wenn in einem Dreiecke 
alle Winkel gleich sind, so ist dasselbe 
ein gleichseitiges.“ 
Auch ist noch eine Folge für das 
gleichschenklige Dreieck zu ziehen, Sei 
a die Grösse des Winkels an der Spitze, ß 
die des einen an der Grundlinie, also 
dann auch die des andern gleich ß, so ist 
Wir wollen diese Linie als Mittellinie 
der Punkte A und C oder der Linie AC, 
auch als die des gleichschenkligen Drei 
ecks ABC bezeichnen. 
Von den Sätzen dieses Abschnittes 
lassen sich leicht Anwendungen auf das 
gleichseitige Dreieck machen. — Da in 
letzterem jede zwei Seiten gleich sind, 
so sind nach Lehrsatz 4. auch jede zwei 
Winkel mithin alle drei unter einander 
gleich. Da nun alle Winkel eines Drei 
ecks zwei Rechte betragen, so ist im 
2 
gleichseitigen jeder ---- Rechten gleich, 
o 
Also : 
Zusatz 1. „Ein gleichseitiges Dreieck 
a + 2ß- 2 R, 
woraus sich ergibt: 
ß = R« = 2(Ä — /»). 
Diese Formeln lösen die Aufgabe: 
„Wenn in einem gleichschenkligen 
Dreiecke ein Winkel gegeben ist, die 
beiden anderen zu finden.“ 
IV. Lehrsatz 12. Zwei Dreiecke 
sind congruent, wenn alle drei Seiten 
des einen bezüglich den drei Seiten des 
andern gleich sind. 
Beweis. Seien (Fig. 97) ABC und 
DEF die gegebenen Dreiecke, und zwar 
AB = DE, BC = EF, AC = DF. 
Fig. 97. 
Man lege das letztere Dreieck so an 
das erstere, dass Punkt D in A, Seite DF 
in AC, Punkt E aber in G auf der anderen 
Seite von AC als der Punkt B fällt, 
und ziehe BG. — Es ist dann: 
AB = DE -AG, BC-EF-CG; 
also die Dreiecke BAG und BCG gleich 
schenklig. Mithin Winkel ABG = AGB, 
und CBG — CGB. Durch Addition bei 
der Gleichungen ergibt sich dann Winkel 
ABC — AGE, und da die diese Winkel 
einschliessenden Seiten auch einander 
bezüglich gleich sind, so ist Dreieck 
ABC^AGC oder <£ DEF, da die bei 
den letzteren Dreiecke identisch sind, 
womit dieser Satz erwiesen ist. 
V. Lehrsätze. Mit einem noch zu 
entwickelnden Satze von der Congruenz 
lässt sich diese Theorie abschliessen. 
Indess hat dieser Satz nicht die Ein 
fachheit der früheren. Wir geben ihm zu 
nächst eine möglichst allgemeine Gestalt. 
Lehrsatz 13. Wenn in zwei Drei 
ecken zwei Seiten und die Gegenwinkel 
je einer Seite gleich sind, so sind die 
Dreiecke entweder congruent, oder die 
Gegenwinkel der andern gleichen Seiten 
ergänzen sich zu einem gestreckten.“ 
Beweis. Seien ABC und DEF