Raumlehre. 
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Raumlehre. 
I 
Fig. 98. 
(Fig. 98) die gegebenen Dreiecke, und 
zwar AB = DE, AC=DF, Winkel C=F. 
So kann man jedenfalls DEF so auf 
ABC legen, dass die Winkel C und F 
zusammenfallen, es wird dann Punkt D 
in A und Punkt E entweder in B selbst, 
wo dann die Dreiecke congruent sind, 
oder auf die nöthigen Falls zu verlän 
gernde Seite BC fallen. Man kann aber 
annehmen, dass immer, wenn die Drei 
ecke nicht congruent sind, E zwischen 
B und C fällt, denn tritt dies nicht ein, 
so kann man Dreieck ABC auf DEF 
legen, und wird dann B zwischen E und 
F fallen, also die ganze Betrachtung ist 
dann mit Vertauschung der Dreiecke 
noch anwendbar. Falle somit Punkt E 
in G, so wäre Dreieck AGC'FL DEF, 
also AG — DE — AB, Mithin im gleich 
schenkligen Dreiecke ABG Winkel 
ABG-AGB, also ABG+AGC=2B. und 
da AGC— DEF ist, auch 
ABE + DEF=.2R, 
womit unser Satz bewiesen ist. 
Da von drei Winkeln nicht jeder den 
andern zu zwei rechten ergänzen kann, 
so hat man auch den Satz: 
Lehrsatz 14. „Wenn in drei Drei 
ecken immer 2 Seiten und der Gegen 
winkel der einen entsprechend gleich 
sind, so sind wenigstens zwei der Drei 
ecke congruent.“ 
Wenn sich ferner zwei Winkel zu zwei 
Rechten ergänzen, so sind entweder beide 
Rechten, oder der eine grösser, der andere 
kleiner als ein solcher. 
Im ersteren Falle sind unsere Dreiecke 
congruent, da dann ausser den Seiten 
noch zwei Winkel gleich sind (Lehrsatz 2). 
Man kann also dem Lehrsatz 13. auch 
die Form geben: 
Lehrsatz 15. „Zwei Dreiecke sind 
congruent, wenn in ihnen entsprechend 
zwei Seiten und der Gegenwinkel der 
einen gleich sind, der Gegenwinkel der 
andern, aber bei beiden entweder gleich 
zeitig spitz, gleichzeitig recht, oder gleich 
zeitig stumpf ist.“ 
Indess ist an diesen Congruenzsatz 
noch eine wichtige Bemerkung zu knüpfen, 
welche noch einige Vorbereitung nöthig 
macht. 
VI. Lehrsätze. Es beziehen sich 
diese Satze auf die Ungleichheit der 
Seiten und Winkel. 
Lehrsatz 16. „Wenn in einem 
Dreiecke zwei Seiten ungleich sind, so 
ist derjenige von ihren Gegenwinkeln 
der grössere, welcher der grösseren Seite 
gegenüberliegt.“ 
Beweis. Sei (Fig. 99) ABC das ge 
Fig. 99. 
gebene Dreieck, und AB grösser als BC, 
so soll bewiesen werden, dass auch der 
Gegenwinkel von AB, nämlich C grösser 
ist als A, der Gegenwinkel von BCA. 
Man schneide von AB Stück BD — BC 
ab, und ziehe DC, so ist in dem gleich 
schenkligen Dreiecke BDC Winkel BDC 
gleich BCD, also jedenfalls BCA oder C 
grösser als BDC. Letzterer Winkel aber 
ist Aussenwinkel von Dreieck ADC, also 
gleich den Winkeln DAC und DCA zu 
sammen, also grösser als DAC oder A\ 
es muss also um so mehr C grösser als 
A sein, was zu beweisen war. — Dieser 
Lehrsatz ist einer Umkehrung fähig, d. h.: 
Lehrsatz 17. „Wenn in einem 
Dreiecke zwei Winkel ungleich sind, so 
ist diejenige ihrer Gegenseiten die Grös 
sere, welche dem grösseren Winkel ge 
genüberliegt.“ 
Beweis. Sei (Fig. 99) Winkel C 
grösser als A, so soll auch AB grösser 
als BC sein. Sei letzteres nicht der 
Fall, so wäre entweder AB = BC, in wel 
chem Falle das Dreieck gleichschenklig, 
also Winkel A — C sein müsste, was 
der Voraussetzung widerspricht, oder es 
müsste BC grösser als AB sein, in wel 
chem Falle nach dem vorigen Satze auch 
Winkel A>C wäre. Es bleibt also nur 
die unserm Satze entsprechende Mög 
lichkeit, dass AB grösser als BC ist. 
Scholion. Da in einem rechtwink 
ligen oder stumpfwinkligen Dreieck jeden 
falls der rechte, bezüglich stumpfe Winkel 
der grösseste im Dreieck so ist, so muss 
auch die demselben gegenüberliegende 
Seite die grösseste im Dreiecke sein. 
Definitionen. Im rechtwinkligen 
Dreiecke wird die dem rechten Winkel 
gegenüberliegende, also grösseste Seite 
Hypotenuse genannt, die beiden an 
dern heissen Katheten. 
Zusatz. 
(Fig. 100) aus 
beliebige Lin 
AC, AD, wor 
so ist diese d 
werden immei 
von der senk 
Es ist ni 
Dreieck ABC 
gegenüberlieg 
AB, im stum; 
die dem stum 
gende Seite j 
Hier zu m 
verständliche 
Lehrsatz 
Dreiecks sin 
dritte.“ — L 
CB bilden eir 
zwei Punkte 
rend die Gra< 
die kürzeste 
Aus diesem ! 
folgende: 
Lehrsatz 
Punkte D im 
(Fig. 101) zv 
punkten A u 
sammen klcii 
AE+ED, Ri 
durch Additi 
AE+ED+B 
da aber BD.