Raumlehre. 
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Raumlehre. 
eines Dreiecks ACD aus, (Fig. 105) eine 
Senkrechte auf die Gegenseite CD zieht, 
so heisst auch diese HöhedesDreiecks 
und CD selbst seine Grundlinie. Beide 
hat das Dreieck mit dem Parallogramm 
ABDC, das doppelt so gross als das 
Dreieck ist, gemein. Da ein Dreieck drei 
Winkelspitzen hat, so besitzt es auch 
drei Höhen. Es folgen jetzt einige Sätze, 
welche erkennen lehren unter welchen 
Umständen ein Viereck ein Parallelo 
gramm ist. 
Lehrsatz 25. „Jedes Viereck, worin 
je zwei gegenüberliegende Seiten einan 
der gleich sind, ist ein Parallelogramm.“ 
Beweis. Seien in ABCD (Fig. 104) 
AB — CD, AD — BC, ziehen wir die Dia 
gonale AC, so ist Dreieck ADC £ CBA, 
wegen Gleichheit der drei Seiten, also 
Winkel DAC—ACB, und da dies Wech 
selwinkel sind, DA parallel CB, ebenso 
Winkel DCA — BAC, also, da dies eben 
falls Wechselwinkel sind, AB parallel CD, 
das Viereck also ein Parallelogramm. 
Lehrsatz 26. „Jedes Viereck, worin 
zwei Seiten sowohl gleich als parallel 
sind, ist ein Parallelogramm.“ 
Beweis. Sei AB gleich und parallel 
CD (Fig. 104). 
Die Diagonale AC ziehend, erhält man 
wieder congruente Dreiecke, denn es ist 
AB —CD, AC—AC, und die eingeschlos 
senen Winkel BAC= DCA als Wechsel 
winkel paralleler Linien. Es folgt dann, 
dass auch DC—AB, also auch die an 
dern Seiten gleich sind, mithin die Figur 
ein Parallelogramm ist. 
Lehrsatz 27. „Die Diagonalen eines 
Parallelogramms halhiren sich.“ 
Beweis. Es sollen (Fig. 106) im Pa 
rallelogramm ABCD AO = OC, DO —OB 
Fig. 106. 
sein;Dreieck.40ß‘U COD, dannyiß = CD, 
Winkel OAB — OCD, OBA-ODC, wo 
raus sich unser Satz ergibt. 
Ist in einem Parallelogramm ein Winkel 
ein rechter, so ist dies auch mit seinem 
Gegenwinkel der Fall. Für die beiden 
andern Winkel bleiben noch zwei Rechte 
übrig, und da diese gleich sind, muss 
auch jeder ein rechter sein. D. h.: 
Lehrsatz 28. „Wenn in einem Pa 
rallelogramm ein Winkel ein rechter ist, 
so ist dasselbe ein Rechteck oder ein 
Quadrat.“ 
Ist in einem Parallelogramm ein Winkel 
spitz, so ist die Summe desselben und 
seines Gegenwinkels kleiner als zwei 
rechte, mithin die beiden anderen Gegen 
winkel zusammen grösser als zwei rechte, 
und da sie gleich sind, jeder davon grö 
sser als ein rechter, mithin ein stumpfer. 
D. h.: 
Lehrsatz 29. „Die Rhomben und 
Rhomboiden enthalten immer zwei spitze 
und zwei stumpfe Winkel.“ 
Die folgenden Sätze geben charakte 
ristische Eigenschaften der Rechtecke, 
Quadrate und Rhomben. 
Sei ABDC (Fig. 107) ein Rechteck, 
AD und BC seine Diagonalen, so ist 
Fig. 107. 
Dreieck ACDBDC, da Winkel D~C 
als rechte, AC—BD, DC-DC ist, mit 
hin auch BC — AD. D. h.: 
Lehrsatz 30. „Die Diagonalen eines 
Rechtecks sind gleich.“ 
Ist ABDC (Fig. 108) ein Rhombus, 
Fig, 108. 
AD und CB seine Diagonalen, so ist 
AB—DB, also BO die Mittellinie des 
gleichschenkligen Dreiecks ADB, und 
sie steht somit auf der Grundlinie DB 
senkrecht (Lehrsatz 7). also : 
Lehrsatz 31. „Die Diagonalen eines 
Rhombus stehen auf einander senkrecht.“ 
Das Quadrat gehört sowohl den Recht-