mlehre. 
Raumlehre. 
113 
Raumlehre. 
und Höhe, so ist Er 
press als das Letztere, 
. In dem Folgenden 
ei Sätze über Flächen- 
„Werden durch einen 
der Diagonale eines 
vei Linien parallel den 
nd somit das Paralle- 
cidere getheilt, so sind 
en diejenigen beiden 
ä welche die Diagonale 
ABCD (Fig. 112) das 
„Scheitel-Dreiecke sind 
Verbindungslinien je 
g. ns. 
zweier Ecken, die nicht den Scheitel 
winkeln angehören, parallel sind.“ 
Beweis. Es sind diese Verbindungs 
linien ACund BD (Fig. 113), wenn diese 
parallel sind, so haben die Dreiecke ACB 
und ACD gemeinschaftliche Grundlinie 
AC und gleiche Höhe, sie sind also flä- 
chengleich. Zieht man von beiden das 
gemeinschaftliche Stück AOC ab, so blei 
ben die Scheitel-Dreiecke übrig, und so 
mit ist unser Satz erwiesen. 
III. Lehrsätze. Die folgenden Sätze 
geben höchst wichtige Eigenschaften der 
rechtwinkligen Dreiecke. Wir knüpfen 
dieselben zunächst an eine Definition. 
Definition. Wenn man von den 
Endpunkten einer begrenzten Linie (Fig. 
114) AB Senkrechte auf eine andere 
Fig. 114. 
Linie FC fällt, so schneiden dieselben 
ein Stück derselben DE ab, welches man 
die Projection von AB auf FC nennt. 
Wenn beide Linien AB und AC sich in 
A schneiden, und man zieht von B aus 
Loth BD auf AC, so ist .40 die Pro 
jection von AB auf AC. 
Lehrsatz 6. „In jedem rechtwink 
ligen Dreiecke ist das über einer Ka 
thete errichtete Quadrat gleich einem 
Rechtecke, welches zu Seiten hat die 
Projection dieser Katheten auf die Hy 
potenuse und die Hypotenuse selbst.“ 
Beweis. Sei Dreieck ABC (Fig. 
115) bei A rechtwinklig, also BC die 
Hypotenuse, AH senkrecht auf BC. 
BF—BC und senkrecht darauf, BFGH 
ein Rechteck, BD und AE senkrecht auf 
BA und gleich dieser Linie, so ist HF das 
bezeichnete Rechteck, BAED das Qua 
drat. Wir ziehen die Linie DC und AF, 
so wird sein: Dreieck DCB'C.AFB. Denn 
DB— AB sind Seiten eines Quadrates, BF 
war gleich BC gemacht, die eingeschlos 
senen Winkel DBC und ABF sind gleich, 
da beide einen Rechten und ausserdem 
das gemeinschaftliche Stück ABC ent 
halten. Nun hat Dreieck ABF Grund 
linie BF und Höhe BH mit Rechteck 
Fig. 115. 
HF gemein, während Dreieck DCB 
Grundlinie DB und Höhe BA mit dem 
Quadrate BAED gemein hat, und hier 
aus folgt die Gleichheit von Rechteck 
und Quadrat, da sie doppelt so gross 
als die Dreiecke sind. — Errichtet man 
auch über AC das Quadrat ACLK und 
zieht CM senkrecht auf BC, GM in der 
Verlängerung von FG, so ist CM=BF 
(Parallelen zwischen Parallelen) also 
BCMF ein Quadrat. Nach dem eben 
bewiesenen Satze ist HM flächengleich 
mit dem Quadrate ACLK. Also, wenn 
man beide Rechtecke und beide Qua 
drate addirt, BFMC — AB DE + ACLK 
oder: 
Lehrsatz 7. „Das Quadrat über der 
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks 
ist gleich der Summe der Quadrate, welche 
über beiden Katheten errichtet sind.“ 
Scholion. Dieser wichtige Satz ist 
der sogenannte Pythagoraeische, der hier 
gegebene Beweis ist unter den vielen, 
welche man für ihn gefunden hat, der 
gewöhnlichste und schon von Euklid ge 
geben, ob auch von ihm zuerst gefunden, 
ist unbekannt. Mit den Lehrsätzen 6. 
und 7. ist noch der folgende zu verbinden. 
Lehrsatz 8. „W enn man vom Scheitel 
des rechten Winkels ein Loth auf die 
Hypotenuse zieht, und somit dieselbe in 
zwei Abschnitte theilt, so ist das Qua 
drat dieses Loths gleich dem Rechtecke, 
welches beide Abschnitte der Hypotenuse 
zu Seiten hat.“ 
Beweis. Sei A (Fig. 116) der rechte 
Winkel, AD senkrecht auf BC gezogen, 
BF = BC und BE ein Rechteck, so ist in 
dem rechtwinkligen Dreiecke BAD nach 
8