lehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
der ersteren nennt, 
vie dieser Ausdruck 
geometrischen Be 
ist. Man bezeichnet 
letische Ausdrucks- 
as Quadrat, welches 
üt AB*, auch das 
f und AD zu Seiten 
idem man für die 
ihre Zahlenwerthe 
mthmetische Sätze 
e man aus Zahlen 
den und Rechtecken 
mn. Auch führen 
htungen leicht zu 
, wenn man berück- 
i’roduct von Zahlen 
nan sich eine Linie 
mit eines Rechtecks 
m der Zahlenwerth 
;r von dessen Seite, 
x — y m 
der Seite eines Qua- 
i des letzteren ge- 
die Quadratwurzel 
ahlenwerth der einen 
ks, in der Flächen- 
ir die andere Seite x, 
in 
x= . 
a 
[atheten eines recht- 
Zahlenwerthe dersel- 
;h die Hypotenuse x 
Nach dem Pytha- 
t: 
> x — ]/a a + b* 
cannte arithmetische 
s + b*±2ab 
ich unter a und b 
den wichtigen Satz: 
die Seite eines Qua- 
bige Theile, so wird 
er Stücken bestehen, 
en gleich sind, welche 
cke zu Seiten haben, 
rn Rechtecken, welche 
iten haben.“ 
dessen Seite die Dif- 
enen Linien ist, ent- 
jeder dieser Linien 
hen Rechtecken, die 
>en.“ 
iragraph giebt eben- 
ung dieser Betrach- 
VI. Lehrsätze. andern Seiten, weniger einem doppelten 
Lehrsatz 11. „In jedem Dreiecke Rechteck, welches die eine dieser Seiten 
ist das Quadrat einer Seite, welche einem und die Projection der andern auf die- 
spitzen Winkel gegenüber liegt, gleich selbe zu Seiten hat.“ 
der Summe der ,Quadrate der beiden Beweis. Sei (Fig. 119) C ein spitzer 
Fig. 119. 
Winkel, BD senkrecht auf AC, also DC 
die Projection von BC\ es ist also zu 
beweisen, dass man hat: 
AB* = AC* + CB* -2AC - CD 
wo die arithmetischen Zeichen die im 
vorigen Paragraphen eingeführte Bedeu 
tung haben. Im rechtwinkligen Dreieck 
ADB ist: 
AB* —AC* + DB*, 
da man aber hat: 
AD=AC — DC, 
also: 
AD*=AC* + DC* — 2AC • DC, 
so ergibt sich: 
AB* — AC* + DC* + DB* - 2AC • DC 
und da in dem rechtwinkligen Dreiecke 
BDC ist: 
DB* + DC* = BC*, 
so ergibt sich endlich, wie der Satz ver 
langt : 
AB* = AC* +BC* - 2AC-DC. 
Lehrsatz 12. „In jedem stumpf 
winkligen Dreieck ist das Quadrat der 
dem stumpfen Winkel gegenüberliegen 
den Seite gleich der Summe der Qua 
drate der beiden andern Seiten vermehrt 
um das doppelte Rechteck aus einer 
dieser Seiten und der Projection der 
andern auf dieselbe. 
Beweis. Es soll (Fig. 120) C ein 
stumpfer Winkel, BD das Loth auf AC 
sein, so ist 
AB* = BD* + DA* =BD*+(AC+CD)* 
= BD*+AC* + CD*+2AC • CD 
BD 2 + CD* = BC*, also: 
AB* = BC* + AC* + 2AC- CD, 
womit unser Satz bewiesen ist. 
S ch o 1 i o n. Die Lehrsätze 11. und 12. 
können als Erweiterungen des Pythago- 
Fig. 120. 
raeischen Satzes auf stumpf- und spitz 
winklige Dreiecke betrachtet werden Sie 
fallen beide in einen Satz zusammen, 
wenn man die Betrachtungen über das 
Vorzeichen der Raumgrössen (siehe den 
Artikel: Raumgrössen) berücksichtigt. 
Nimmt man nämlich an CD (Fig. 120) 
sei positiv, so wird (Fig. 119) CD ne 
gativ zu nehmen sein, da Punkt D in 
der entgegengesetzten Richtung von AC 
zu suchen ist wie im ersten Falle. Wenn 
also das doppelte Rechteck oder Pro 
duct 2AC . DC im ersten Falle positiv 
ist, ist es im zweiten als negativ zu be 
trachten. 
Aus diesen Sätzen folgt leicht der 
jetzt zu gebende: 
Lehrsatz 18. „In jedem Parallelo 
gramm ist die Summe der Quadrate bei 
der Diagonalen gleich der Summe der 
Quadrate aller vier Seiten.“ 
Beweis. Ist das Parallelogramm 
ABCD (Fig. 121) ein Rechteck, so ist 
AB* + BC* = AC*, AB*,+AD> = BD* 
aber da AB DC ist, durch Addition: 
AB* + BC* + CD* + DA* = AC* + BC*,