Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Denn nach der Annahme ist CF=FD, 
Winkel CGF = FHD als Wechselwinkel 
paralleler Linien, und aus demselben 
Grunde Winkel GCF — FDH. Es ist 
also EF gleich und parallel mit BC, 
folglich BEFG ein Parallelogramm, und 
EF parallel BG, womit der erste Theil 
des Satzes erwiesen ist. 
Ferner ist 
EF = BG 
BG + AH 
2 ' 
Aber 
BG = BC + CG, CG = HD, 
wegen der bewiesenen Congruenz, also: 
BG+AH= BC+HD+AH= BC+AD, 
also: 
BF = BC+AD 
dies aber ist der zweite Theil unseres 
Satzes. Aus ihm und Lehrsatz 16. folgt 
unmittelbar: 
Lehrsatz 17. „Der Flächeninhalt 
eines Trapezes ist gleich dem Product 
aus Höhe und Mittellinie.“ 
VIII. Aufgaben, 
Es haben diese Aufgaben lediglich die 
Berechnung von Dreiecken zum Zwecke. 
Aufgabe 1. In einem Dreiecke sind 
die Zahlenwerthe der Seiten gegeben, 
man soll den einer Höhe bestimmen. 
Auflösung. Wir bezeichnen die 
Seiten (Fig. 126) des Dreiecks AB, BC, 
AC mit (», b, c, mit h die auf AB er 
richtete Höhe. Sei noch k die Projection 
von b auf et. Dieselbe soll negativ ge 
nommen werden, wenn der Winkel zwi 
schen a und b ein stumpfer ist, also 
diese Projection nicht auf a selbst son- 
Fig. 126. 
dem auf seine Verlängerung trifft. Unter dieser Voraussetzung ist nach den 
Lehrsätzen 11. und 12. immer: 
woraus sich leicht ergibt; 
c a = et 2 + b* — 2 ak, 
* = 2b ■ 
Nach dem Pythagoraeischcn Satze ist dann ; 
** + *• = »•, k' = - o = f - ( "* + l ' = ia,i ‘ - {a ' A + *’ 
4r< 2 4 er 
_ (2ab + a 1 4- 6 1 — c J ) (2ab — a "• — 6* + c 1 ) [(et + b)* — c 1 ] [c 2 — (et — A) 1 ] 
4a* 4a a 
_ (et -f- b -(- c) (et + b — c) (et + c — b) (b + c — et) 
“ 4Ü 2 ’ 
Bezeichnen wir nun mit s die halbe Summe der drei Seiten, so ist 
folglich auch: 
s — a 
s 
a -f- b + c 
2 
b -f- c 
b- 
«4-c — b 
« 4 b — c 
somit: