Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Wir haben —= = , oder auch 
LJit CD 
CA-CE CB - CD 
CE ” CD ’ 
d. h.: 
^| = ^,„d4E. CB =C/ä.№ 
ferner AF - FB, also : 
AF-BD-CE = FB • f?D • EA, 
was wieder die Bedingung des Lehr 
satzes 6. ist. 
Lehrsatz 9. „Die 3 Linien, welche 
die Winkel eines Dreiecks halbiren, 
schneiden sich in einem Punkte.“ 
Beweis. Es seien wieder AD, BE, 
CF (Fig. 134) diese Linien, als die Hal- 
birungsliiiien der Winkel. Nach Lehr 
satz 4. hat man dann: 
AC_AF BC_CE BA BD 
bT:~ 1Je’ ba ~ ea' ac~ dc' 
also durch Multiplication: 
AF-CE-BD 
1 “ BF-EA-DC' 
welches die Bedingung ist, dass sich die 
3 Linien in einem Punkte schneiden. 
Wir reihen an diese Betrachtungen 
noch einen Satz, der sich auf die Seg 
mente der Dreiecksseiten bezieht. 
Lehrsatz 10. „Wenn man von einem 
beliebigen Punkt aus 3 Senkrechte auf 
die Seiten eines Dreiecks fällt, so ent 
stehen Segmente, von denen die Quadrat 
summen je dreier nicht zusammenstossen- 
der gleich sind.“ 
Beweis. Seien GF, GE, GD die 
Lothe (Fig. 135), so soll sein: 
AF* + BD* + CE 1 - BF* + CD 2 + EA 2 ; 
Fig. 
Fig. 135. 
ziehe AG, GB, GC, so entstehen 6 recht 
winklige Dreiecke, von denen je 2 gleiche 
Hypotenuse und folglich gleiche Quadrat 
summe der Katheten haben, nämlich; 
AE* 4- EG 2 = AF* + FG*‘ 
BF* + EG* = BD* + DG*, 
CD*+DG* ~ CE* + EG-, 
also durch Addition und Weglassen der 
Stücke, welche auf beiden Seiten gleich 
sind: 
AE ! + BF* + CÜ* = AF* + BD* + CE*, 
wie zu beweisen war. 
Auch dieser Satz ist der Umkehrung 
fähig. 
Lehrsatz 11. „Wenn jede der drei 
Seiten eines Dreiecks so in zwei Theile 
getheilt ist, dass die Quadratsumme je 
dreier nicht zusammenstossender Theile 
gleich sind, so gehen die aus den Theil- 
punkten errichteten Lothe durch einen 
Punkt.“ 
Beweis. Es ist (Fig. 136): 
AF* + BD* + CE* = BF* + CD* +AE*. 
Wir haben zu beweisen, dass sich die 
Lothe in einem Punkte schneiden. Sei 
dies nicht der Fall, so kann man aus 
136. 
dem Schnittpunkte der in E und D er 
richteten Lothe ein anderes GH auf AB 
fällen, und hat dann also: 
AH 1 + BD* -f- CE* = BH* + CD * + AE*. 
Oder wenn man diese Gleichung von 
der vorigen abzieht; 
AF* — AH* —BF*—BH*, 
eine Gleichung, die darum unmöglich