Raumlehre. 
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ist, weil sie etwas Negatives einem Po 
sitiven gleich setzt. Eine Anwendung 
dieser Betrachtung gibt der: 
Lehrsatz 12. „Die drei aus den 
Ecken eines Dreiecks auf die Gegensei 
ten gefällten Lothe schneiden sich in 
einem Punkte.“ 
Beweis. Seien CF, BE, AD (Fig. 
137) die Lothe. Jedes theilt das Dreieck 
Fig. 137. 
— 
k 
/ \\ 
kf 
A 
r 
B 
ABC in 2 rechtwinklige mit einer ge 
meinschaftlichen Kathete; es ist also: 
AC'-CD* - AB 1 -BD*, 
AB* — AE 2 = BC* — CE*, 
BC* - BF* = AC* - AF a , 
also durch Addition und Wegheben des 
Gleichen aut beiden Seiten, 
- CD* - AE* - BF* = - BD* - CE 1 
-AF 2 , 
welches die Bedingung für unsern Satz ist. 
IV. Definitionen und Lehrsätze. 
Definitionen. Vielecke heissen 
ähnlich, wenn in ihnen alle Winkel 
gleich sind, und alle Seiten in gleichem 
Verhältnisse (laufender Proportion) ste 
hen. Die Aehnlichkeit der Vielecke 
ABCDEF und abedef (Fig. 138) ver 
langt also, dass Winkel A~a, B — b, 
C = c, D — d, E — e, F = f ist, und die 
Proportionen: 
AIB _ BC _ CD _ DE _ EF _ FA 
ab bc cd de ef fa ’ 
oder: 
AB: BC: CD : DE: EF: FA 
= ab : bc: cd: de : ef: fa 
stattfinden. — Das Zeichen der Aehn 
lichkeit ist CNO. 
Fig. 138. 
Den Sätzen von der Aehnlichkeit der 
Dreiecke, auf welche sich die Aehnlich 
keit der Vielecke zurückführen lässt, liegt 
folgender Hauptsatz zu Grunde. 
Lehrsatz 12. „Wenn man zwischen 
2 Seiten eines Dreiecks durch einen be 
liebigen Punkt der einen, eine Linie 
parallel der dritten Seite zieht, so ent 
steht ein andres Dreieck, welches dem 
gegebenen ähnlich ist, derart, dass die 
Abschnitte auf den gegebenen Seiten 
diesen Seiten selbst und die Parallele 
der dritten Seite entspricht.“ 
Beweis. Sei (Fig. 139) BC parallel DE, 
so soll sein : 
A ABC co ADE. 
(Von der Ordnung der Buchstaben bei 
ähnlichen Dreiecken gilt das bei der Con- 
gruenz der Dreiecke Gesagte, ebenfalls.) 
Da Winkel A~ A und D = B als Ge 
genwinkel ebenso E ~C ist, so ist nur 
noch die Proportionalität der Seiten zu 
beweisen, d. h, die Gleichungen: 
AB AC BC 
AD~ AE~ DE' 
Wegen der Gleichheit der 3 Winkel hat 
man nach Lehrsatz 3.: 
oglich