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Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Zwei Dreiecke sind 
len je zwei Seiten in 
die eingeschlossenen 
sind.“ 
,Zwei Dreiecke sind 
en je zwei Seiten in 
md die Gegenwinkel 
sind.“ 
,Zwei Dreiecke sind 
ren je zwei Seiten in 
lie Gegenwinkel der 
id die Gegenwinkel 
ichzeitig spitz oder 
dnd.“ 
enz der Dreiecke abc 
h aus der Gleichheit 
man ab = AD wieder 
d ac und hc durch 
ab AB 
hc ~~BC 
5 somit für die Aehn- 
i abc und ABC aus- 
„Zwei Dreiecke sind 
leiten in gleichem Ver- 
■ Proportion, stehen.“ 
e Dreiecke abc und 
wenn in ihnen zwei 
Seite entsprechend 
un, welches auch die 
eine Gleiche AD fin- 
diese Bedingung in 
nlichkeit der Dreiecke 
en Einfluss aus. Also: 
„Zwei Dreiecke sind 
men zwei Winkel ent- 
ind.“ 
ie letzten fünf Sätze 
inlichkeitsbedingungen 
j. Ihre Beziehung zu 
zen ist einleuchtend. 
— Von den Aehnlichkeitssätzen ist der 
letzte derjenige, welcher am häufigsten 
angewendet werden muss. 
Was die Aehnlichkeit der Vielecke 
überhaupt anbetrifft, so drängt sich ihre 
Theorie in den folgenden Satz zusammen: 
Fig. 
Lehrsatz 18. „Zwei Vielecke sind 
ähnlich, wenn sie sich in gleicher Rei 
henfolge in gleichliegende ähnliche Drei 
ecke zerlegen lassen.“ 
Beweis. Seien ABCDEFG, abcdefg 
(Fig. 140) die Vielecke. Die Theilung 
140. 
in Dreiecke ist von einer Ecke aus ge- Winkel ACD = acd, 
schehen. Ist nun: also auch; 
A ABC abc, 
Winkel BCA + ACD= bca + acd, 
so hat man: 
d. h.: 
AB BC A C 
Winkel C—c. 
ab bc ac ' 
So wird nach und nach die Gleichheit 
Winkel 
B = b, Winkel BCA — bca; 
aller Winkel und die Proportionalität 
ist ferner: 
aller Seiten bewiesen. Wir reihen hieran 
noch den Satz: 
A CA D s- cad, 
Lehrsatz 19. „Die Umfänge ähn 
so hat man: 
licher Vielecke verhalten sich wie je zwei 
AC CD 
gleichliegende Seiten.“ 
ac cd' 
Beweis. Denn aus der laufenden 
also: 
Proportion; 
AB _BC _ CD 
AB _ BC_ CD _ DE _ EF_ FG GA 
ab bc cd' 
ab bc cd — de ef fg ~ ga' 
ferner: 
folgt sogleich: 
AB + BC+CD + DE + EF + FG + GA _ AB 
ab + hc + cd + de + ef-\-fg + ga ab' 
Beweis. Es ist (Fig. 141) 
AC 
DC 
BC 
EC' 
wie in den Sätzen von Proportionen ge 
zeigt wurde. 
VI. Lehrsätze. Es sind an den in 
IV. gegebenen Satz jetzt noch einige Be 
trachtungen zu knüpfen. Zunächst lässt 
sich derselbe in folgender Weise um 
kehren. 
Lehrsatz 19. „Wenn man zwei Sei 
ten eines Dreiecks so theilt, dass die ab 
geschnittenen Stücke den ganzen Seiten 
proportional sind, und die Theilpunkte 
durch eine Grade verbindet, so ist diese 
der dritten Seite parallel.“ 
und es soll DE parallel AB sein. Offen 
bar ist nämlich A CDE on CAB, da je 
zwei Seiten in Proportion die einge- 
schlosscnen Winkel C aber gleich sind, 
folglich Gegenwinkel D = A, und somit 
DE parallel AB. 
Anmerkung. Es folgt auch leicht, dass 
sich die obern Stücke CD und CE wie 
die untern DA und CB, also die letztem 
auch wie die ganzen Seiten verhalten. 
Lehrsatz 20. „Wenn man eine 
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