Raumlehre. 
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Raumlehre. 
AB • CF • EG — AE • BC - GF. 
Zugleich aber sind die Seiten des Dreiecks 
alle drei durch Linie ACH geschnitten, 
und somit nach Lehrsatz 23.: 
AB-CF-EH - AE-BC-FH, 
also durch Division: 
EG_GF_ EG EH 
EH~ FH ° der: FG~ FH’ 
was die harmonische Eigenschaft ist. In 
gleicher Weise ergibt sich die harmoni 
sche Theilung der beiden andern Dia 
gonalen, also : 
AK: KC = AH; CH, 
BK: KD = BG : DG. 
Sind nun (Fig. 151) EH und AH zwei 
beliebige sich in H schneidende Linien, 
und man zieht AE, durch einen beliebi- 
Fig. 151. 
gen Punkt B dieser Linie in beliebiger 
Eichtung BG, ferner EC und AG, so ist 
AB CD ein Vierseit. Die Punkte E, G, H 
liegen ganz beliebig; zieht man noch 
BKF, so ist F der zu E, G, H gehörige, H 
zugeordnet harmonische Punkt, also wie 
E, G,H gegeben sind, ist F bestimmt, da 
zu drei Gliedern einer Proportion immer 
nur ein viertes gehört. Die Linien BE, 
BG , BF und BH sind offenbar harmo 
nische Strahlen, und sie theilen auch die 
willkürlich gerichtete Linie AKCH har 
monisch. Jedoch hat diese Linie A einen 
der harmonischen Punkte H mit EH ge 
mein. Dies ist jedoch unerheblich, denn 
zieht man LP parallel mit AH, also 
durch einen beliebigen Punkt, so ist 
nach Lehrsatz 26: 
AK LM_ AJI _ LP^ 
KC~ MN’ HC~PN’ 
Linie von diesen Strahlen auch harmonisch 
getheilt.“ 
Definition. Wenn die Segmente 
einer Linie eine gewisse Eigenschaft ha 
ben, man zieht durch die Theilpunkte 
Strahlen die alle durch einen Punkt ge 
hen, und die Segmente jeder von diesen 
Strahlen geschnittene Grade haben die 
selbe Eigenschaft, so heisst diese Eigen 
schaft eine p erspectivi sche. 
Die Eigenschaft der harmonischen Thei 
lung ist also eine perspectivische. 
Wir werden sogleich einen sehr allge 
meinen Satz über perspectivische Eigen 
schaften geben, wollen aber zuerst die 
Sätze von der harmonischen Theilung 
noch ergänzen. 
Sei (Fig. 152) Winkel ABC durch BF 
halbirt, so ist; 
EB _ EF 
BG~FG’ 
also, da 
also da nach Lehrsatz 27.: 
AK AH LM FP 
kc~hc' auch MN~JN’ 
d. h. LP ist ebenfalls harmonisch getheilt, 
und diese Linie ist nicht allein willkür 
lich gerichtet, sondern ihr Schnittpunkt 
mit EU auch beliebig. D. h.: 
Lehrsatz 28. „Wenn man durch vier 
harmonische Punkte nach einem fünften 
beliebigen harmonische Strahlen zieht, 
so wird jede hindurchgehende J [andere 
Fig. 152. 
ist auch; 
Sei nun GK 
da 
ist, also; 
A 
woraus dann 
Winkel 
da aber: 
E 
ist, so hat m 
Winkel E 
d. h.: 
2 GBK 
oder da: 
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d. h.; 
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