umlehre. 
Raumlehre. 
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Raumlehre. 
che Eigenschaft ist. In 
gibt sich die harmoni- 
¡r beiden andern Dia- 
: = AH: CH, 
D = BG:DG. 
151) EH und AH zwei 
H schneidende Linien, 
E, durch einen beliebi- 
trahlen auch harmonisch 
Wenn die Segmente 
jewisse Eigenschaft ha- 
durch die Theilpunkte 
durch einen Punkt ge 
mente jeder von diesen 
tene Grade haben die- 
, so heisst diese Eigen- 
poctivi sehe, 
der harmonischeu Thei- 
5 perspectivische. 
gleich einen sehr allge- 
perspectivische Eigen 
wollen aber zuerst die 
larmonischen Theilung 
Winkel ABC durch BF 
3 __ EF 
irsatz 27.: 
ig. 152. 
EF^_EH 
FG ~ GH ’ 
ist auch: 
EIS _ EH 
BG ~ GH 
Sei nun GK parallel BE, so ist auch: 
EB EH 
GK ~ GH' 
da 
A EBH ^ GKH 
ist, also: 
BG - GK, 
woraus dann folgt: 
Winkel GBK = GKB; 
da aber: 
EBK+ GKB = 211 
ist, so hat man: 
Winkel EBG + GBK + GKB=2R 
d. h.: 
2 GBK + FBG + FBE= 2 B, 
oder da: 
FBG = FBE 
war, 
Fig. 153. 
andern fällt, so heisst der Quotient dieses 
Lothes BD durch AB dividirt Sinus des 
Winkels A, geschrieben: sin A. 
Lemma. „Der Sinus eines gegebe 
nen Winkels ist eine völlig bestimmte, 
nicht von der Länge des Schenkels AB, 
sondern nur von der Grösse dieses Win 
kels abhängige Zahl.“ 
Beweis. Lassen wir den Punkt D 
nach E (Fig. 154) rücken, so würde 
CE 
der Sinus von A - -r— werden, da aber 
die Dreiecke ACE und ABD ähnlich 
sind, so hat man: 
2 GBK + 2 FBG = 2 R, 
d. h.: 
FBK = R. 
Dies gibt folgenden: 
Lehrsatz 29. „Wenn der Winkel 
zweier zugeordneter harmonischer Strah 
len durch den dritten halbirt wird, so 
steht dieser auf dem vierten senkrecht.“ 
Fügen wir schliesslich noch die Be 
merkung hinzu, dass wenn EF = FG 
wäre, GH = EH sein müsste, was nur 
möglich ist, wenn Punkt H ins Unend 
liche rückt, mithin der durch B gezo 
gene nach H gerichtete Strahl EH parallel 
wird, weil sonst ein Schneiden, also ein 
in endlicher Entfernung befindlicher har 
monischer Punkt sich ergäbe. Hieraus 
folgt noch: 
Lehrsatz 30. „Wenn durch drei 
der harmonischen Strahlen eine Linie 
halbirt wird, so ist diese dem vierten 
Strahl parallel.“ 
Dies sind die Grundzüge der Theorie 
der harmonischen Theilung. Das weitere 
Verfolgen dieser Theorie gehört nicht 
in diesen Artikel. Wir geben indess 
noch den oben versprochenen allgemei 
neren Satz über perspectivische Eigen 
schaften, dem wir jedoch noch eine De 
finition vorausschicken. 
Definition. Wenn man von einem 
beliebigen Punkte des Schenkels eines 
Winkels A (Fig. 153) ein Loth auf den 
CE BD 
ÄC~ÄB‘ 
Also in der That übt die Länge von 
AB keinen Einfluss aus. 
Zusatz. „In jedem Dreieck ist der 
Flächeninhalt gleich dem halben Product 
zweier Seiten multiplicirt mit dem Sinus 
des eingeschlossenen Winkels.“ 
Beweis. Sei ABC (Fig. 154) das 
Fig. 154. 
Dreieck und BD senkrecht auf AC ge 
zogen, so ist der Flächeninhalt gleich 
AC-BD 
2 
Nun hatten wir; 
also: 
BD — AB • sin A