Raumlehre. 
136 
Raumlehre. 
und somit den Flächeninhalt gleich 
AC• AB • sin A 
2 ’ 
wie zu beweisen war. 
Lehrsatz 31. „Wenn zwischen den 
Segmenten einer Linie eine Gleichung 
stattfindet, welche sich derart darstellen 
lässt, dass ein Product von Segmenten 
durch ein anderes dividirt einer Con- 
stanten gleich ist, so ist diese Eigenschaft 
dann eine perspectivische, wenn der Zäh 
ler aus dem Nenner, die Linien in der 
gewöhnlichen Bezeichnung geschrieben, 
nur durch Vertauschung der Buchstaben 
hervorgeht.“ 
Erläuterung. Sei z. B. (Fig. 155) 
AB die Linie und dieselbe in C, D, E, F 
getheilt. Bildet man nun zum Beispiel das 
Product AD • CE -BF • CF, so kann man 
durch Vertauschung der Buchstaben er 
halten: 
AF-CF-DE- BC. 
Ist also: 
AD-CE-BF-CF 
AF -CF-DE-BC 
GA = a, GC - c, GD = d, 
GA'-a', GC'=c', GD' = d', 
Ferner Winkel AGC=(a,c), AGD=(ad) u. s. w., also z. B.: AGF=.(a,f), so 
dass jeder Winkel durch die beiden Linien bezeichnet wird, welche seine Schenkel 
bilden. Da nun die Dreiecke, welche ein Segment von A'B' zur Grundlinie und 
G zur Spitze, alle dieselbe Höhe haben, so verhalten sie sich wie die Grund 
linien, also: 
A A'GD' • A C'GE' ■ A B'GF' . a C'GF' A'D' • C'E'-B'F' ■ CF' 
t\A'GF’ • A C'GF’ • A D'GE' • A B'GC ~ A'F' ■ C'F' • D'E’ • EdC' 
Zugleich aber ist der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks auch gleich dem Product 
der beiden von G ausgehenden Seiten, multiplicirt mit dem Sinus des eingeschlos 
senen Winkels, also der obige Quotient auch gleich: 
a’d'c'e'b'f' c' f' sin (ad) sin(cc) sin (bf) sin (cf) 
a'fc'f'de'b'c' sin (af) sin (cf) sin (de) sin (bc) 
Die Linien heben sich aber alle weg, da Zähler und Nenner Productc enthalten, 
die durch Vertauschung der Faktoren aus einander hervorgegangen sind, denn 
beide enthalten dieselben (klein geschriebenen Buchstaben), welche sich in den 
aus den Segmenten gebildeten Quotienten fanden. Man hat als die folgende Gleichung: 
A'D' • CE' • B'F' • C'F' sin (ad) sin (ce) sin (bf) sin (cf) 
A'F' • C'F' • D'E' • B'C sin (af) sin (cf) sin (de) sin (bc) ‘ 
Ebenso aber lässt sich die Gleichung beweisen 
AD • CE • BF • CF sin (ad) sin (ce) sin (bf) sin (cf) 
AF • CF • DE • BC sin (af) sin (cf) sin (de) sin (b c) 
so dass beide Ausdrücke links in den beiden letzten Gleichungen, wie dies ver 
langt wurde, in der That derselben Zahl gleich sein müssen. 
Beispiele. Sind nur zw'ei Schnittpunkte D und C in AB vorhanden und 
nimmt man je zwei Segmente, so hat der Quotient die Gestalt: 
ACBD_ 
AB'CD~ a ’ 
Fig. 155. 
irgend einer Zahl « gleich, und zieht man 
durch den beliebigen Punkt G ferner 
ein Strahlensystem GA, GC, UD, GE, 
GF, GB, legt die beliebige Linie A'B' 
die in C, D', F/ F' geschnitten wird, 
hindurch, so ist auch : 
A'D' • C'E' • B'F' • CF' _ 
A'F' • C'F' • D’E' • B'C' ~ 
Beweis. Wir setzen die Linie: 
GE = e, GF =f, GB = b, 
nvr — f' n P' — A/ 
es ist also a: 
A 
A 
Man sagt dan 
finde ein anl 
statt. Ist ab< 
so hat man: 
die Theilung 
und es ergil 
Schlüsse, dass 
eine perspecti 
Schnittpunkte 
lässt sich ein 
monischen ar 
man Involut 
doch hier zu 
6) Vom K 
I. Definit 
schlossene eb 
gegebenen Pu: 
Abstand'hat, 
pherie). I 
den gegebene: 
telpunkt (C 
ebene Raum, 
begrenzt wird 
man zuweilen 
auch die Begr 
so wird zuwei 
dem Namen 
Kreislinie kan 
Wenn man ei 
dass ein End 
schreibt der a 
Der (grade) 
(Fig. 157) de 
punkte 0 heiss 
da dieser Abs 
so folgt darau 
„Alle Halb) 
gleich.“ 
Die Grade 
Punkte P der 
dem Q und d 
wird Durchn 
nannt. Also; 
„Der Durch) 
als der Halbr 
messet sind gl 
Die Grade 1 
Punkte der K