Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Der gemeinschaftliche Punkt T wird 
Berührungspunkt genannt. 
Zwei Kreise berühren sich, wenn 
sie nur einen Punkt gemein haben. 
Eine Figur, deren Seiten alle Tan 
genten eines Kreises sind, heisst dem 
selben umschrieben. 
II. Lehrsätze. 
Lehrsatz 1. „Keine Grade kann 
den Kreis in mehr als zwei Punkten 
schneiden.“ 
Beweis. Denn nehmen wir an ABC 
(Fig. 158) sei eine Grade, welche die 
Fig. 158. 
Punkte ABC mit dem Kreise gemein 
hätte, so wären Winkel OBA und OBC 
Nebenwinkel, also einer davon minde 
stens einem Rechten gleich. Sei OBA 
derselbe, so ist ihm OAB gleich, da 
A OAB gleichschenklig ist; man hätte 
also ein Dreieck mit zwei rechten oder 
stumpfen Winkeln, was unmöglich ist. 
Lehrsatz 2. ,,In demselben oder 
in gleichen Kreisen lassen gleiche Bogen 
sich so auf einander legen, dass sie sich 
decken.“ 
Beweis. Seien (Fig. 159) AB und 
AC die gleichen Bogen; man lege sie so 
Fig. 159. 
auf einander, dass die aus A gezogenen 
Halbmesser zusammenfallen, fiele dann 
C, ein Punkt des einen, nicht in den an 
dern, sondern schnitte ihn in ü, so wä- 
wären OD und OC ungleiche Halbmesser, 
was unmöglich ist. 
Lehrsatz 3. „In demselben oder in 
gleichen Kreisen gehören: 1) zu gleichen 
Bogen gleiche Sehnen und Centriwinkel, 
Sectoren und Segmente, 2) zu gleichen 
Sehnen gleiche Bogen und Centriwinkel, 
3) zu gleichen Centriwinkeln gleiche Bo 
gen und Sehnen.“ 
Beweis. 1) Seien ACB und NPQ 
(Fig. 160) die gleichen Bogen; da diese 
Fig. 160. 
auf einander gelegt sich decken, so decken 
sich auch die Sehnen AB und NQ, also 
AB — NQ. Es sind dann die Dreiecke 
AOB und NMQ congruent, aus Gleich 
heit aller Seiten, also auch Winkel 
AOB — NMQ. Auch decken sich die 
Sectoren und Segmente. 
2) Ist AB — NQ, so kann man diese 
Linien zur Deckung bringen; fiele dabei 
ein Punkt E des Bogens NPQ nicht in 
ACB, so hätte man wieder die unglei 
chen Radien OE und OC, und somit ist 
Bogen ACB = NPQ, also auch die Centri 
winkel gleich. 
3) Ist Winkel AOB = NMQ, so sind 
die Dreiecke AOB und NMQ congruent, 
aus Gleichheit zweier Seiten und des ein 
geschlossenen Winkels, mithin auch die 
Sehnen AB und NQ und folglich auch 
die Bogen gleich. 
Ist der Centriwinkel AOB (Fig. 161) 
ein gestreckter, so gehört zu ihm der 
Bogen ACB, und so bilden seine beiden 
Schenkel einen Durchmesser; auch der 
Bogen ADB gehört zu einem gestreckten 
Centriwinkel AOB. Es sind also diese 
Bogen ACB und ADB einander gleich. 
Zusatz. „Ein Durchmesser theilt die 
Peripherie d 
den Kreis sc 
Offenbar i 
die Bezeichn 
L e h r s a t j 
oder zweier £ 
so gehört i 
grössere Sei 
Winkel.“ 
Beweis. 
(Fig. 162) la 
ander legen, 
AC, der mit 
auch deckt; 
ausfallen um 
AOB sein. 
Die Dreie 
nun je 2 als 
kleineren ein 
wird also a 
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L e h r s a t 
zugehöriger 
näher die Sc 
je kleiner c 
auf sie gefäl 
Beweis, 
die Sehnen, 
OD, so lässl 
dann die B< 
fallen, und A 
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