Raumlehre. 
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Raumlehre. 
und ist somit auch die Mittellinie von 
AB (Abschnitt 3. Satz 11). Also: 
Lehrsatz 7. „Zwei parallele Sehnen 
haben gemeinschaftliche Mittellinien.“ 
Zieht man noch AG und Bll parallel 
mit OF, so ist AG — BH, 
CG = CE — AF = ED — FB = HD, 
also die Dreiecke ACG und BDH con- 
gruent, aus Gleichheit zweier Seiten und 
des eingeschlossenen (rechten) Winkels, 
somit auch Sehne AC—BD, also ebenso 
die zugehörigen Bogen. 
Lehrsatz 8. „Zwei parallele Sehnen 
schneiden auf beiden Seiten gleiche Bo 
gen ab.“ 
Hiermit verbinden wir noch den Satz: 
Lehrsatz 9. „Durch drei Punkte, 
die nicht in einer Graden liegen, lässt 
sich immer ein und nur ein Kreis legen.“ 
Beweis Seien A, B, C (Fig. 165) 
die Punkte. Man zieht die Mittellinie DO 
F’g- 165. 
von A und B, und FO von BC, die sich 
in 0 schneiden, so ist 0 als Punkt von 
DO gleich weit entfernt von A und B, 
und als Punkt von FO auch von B und C. 
Es gibt also einen Punkt O und nur 
einen, der von A, B und C gleich weit 
entfernt ist, und 0 ist mithin Mittelpunkt 
eines Kreises der durch A, B und C 
geht. 
Hieraus folgt augenblicklich. 
Zusatz. „Zwei Kreise können höch 
stens zwei Punkte gemein haben.“ 
IV. Lehrsätze. 
Die folgenden Sätze betreffen das Ver 
halten zweier Kreise zu einander. Haben 
dieselben (Fig. 166 und 167) wirklich zwei 
Punkte A und B gemein, und sind 0 und C 
die Mittelpunkte der Kreise, so sind A und 
B gleich weit von O und von C entfernt, 
also 0 und C Punkte der Mittellinie von 
AB, welche somit die Linie OC selbst ist, 
Fig. 166. 
während AB die gemeinschaftliche Sehne 
beider Kreise ist. Hieraus folgt: 
Lehrsatz 10. „Wenn sich zwei Kreise 
in zwei Punkten schneiden, so halbirt die 
Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte die 
gemeinschaftliche Sehne, und steht auf 
derselben senkrecht.“ 
Wir erhalten aber auch Bedingungen 
dafür, dass die Kreise wirklich zwei 
Punkte gemein haben. Zunächst merken 
wir noch folgende 
Definition, Die Verbindungslinie 
OC der Mittelpunkte zweier Kreise heisst 
Centrale. In unserm Falle bilden nun 
die Radien OÄ, CA und die Centrale 
ein Dreieck; es ist also sowohl AO + AC 
grösser als OC, also auch, wenn AO der 
grössere Radius ist, AO kleiner als 
AC+OC, oder AO—AC kleiner als OC. 
D. h. 
Fig. 
167. 
Lehrsatz 11. „Wenn zwei Kreise 
zwei Punkte gemein haben, so ist die 
Summe ihrer Halbmesser grösser, die Dif 
ferenz derselben kleiner als die Centrale.“ 
Dieser Satz lässt sich aber auch in 
folgender Weise umkehren.