Raumlehre. 
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Raumlehre. 
rung von OC einen solchen Punkt A; der 
selbe ist also der Berührungspunkt der bei 
den Kreise, von denen C innerhalb 0 liegt. 
Der letzte Lehrsatz lässt sich auch 
umkehren. 
Lehrsatz 14 „Berühren sich zwei 
Kreise äusserlich, so ist die Centrale im 
mer gleich der Summe, berühren sie sich 
innerlich, so ist sie gleich der Differenz 
der Radien.“ 
Beweis. Es kann nämlich dann weder 
das Criterium zweier Schnittpunkte noch 
keines Schnittpunktes stattfinden, und es 
bleiben nur die in diesem Lehrsätze ge 
gebenen Grössen der Halbmesser mög 
lich. Dass im ersteren Falle äussere, im 
zweiten innere Berührung stattfindet, folgt 
wie im vorigen Satze. 
V. Lehrsätze. 
Das Folgende betrifft die Ausmessung 
der Winkel mittels der Kreisbogen. Wenn 
man aus den Scheitelpunkten 0 und C 
zweier Winkel (Fig. 172) Kreise mit glei- 
Fig. 172. 
eben Halbmessern OA und CD legt, so 
entstehen AB und DE, deren Centnwinkel 
die gegebenen Winkel sind. Haben die 
selben nun irgend ein genaues Maass, d. h. 
einen Winkel, der in AOB eine ganze 
Anzahl von n Malen, und eine andere 
ganze Anzahl p mal in DCE enthalten 
ist, kann man also AOB in n Theile 
theilen, deren jeder gleich AOE ist, und 
DCE in p solcher Theile theilen, so wer 
den die Bogen AB und DE in gleich 
viel Theile Ae, ef . . ., Dg, gh ... ge- 
theilt, die alle gleich dem zu AOB ge 
hörigen Bogen Ae sind. Haben beide 
Winkel kein genaues Maass, so lässt 
sich, ganz wie bei der Ausmessung der 
Figurendargethan, immer ein Winkel AOe 
finden, der bis auf einen beliebig klein 
zu machenden Fehler die Winkel misst, 
und der zugehörige Bogen Ae wird das- 
selbe in Bezug auf AB und DE thun. 
Daraus folgt der wichtige Satz: 
Lehrsatz 15. „Man kann die Winkel 
mittels der Bogen, deren Centriwinkel 
sie sind, und die Bogen mittels der Winkel 
messen. Um nämlich einen Winkel DCE 
durch ein gegebenes Maass AOB, das also 
eine Winkelgrösse sein muss, zu messen, 
schlage man von 0 und C als Mittelpunkte 
mit beliebigen aber gleichen Radien Bogen 
AB und DE ; so oft der erstere in dem 
letzteren enthalten ist, wird auch der 
Winkel AOB in DCE enthalten sein.“ 
Erläuterung. Wählt man also als 
Winkeleinheit den Rechten, so ist der 
entsprechende Bogen der vierte Theil der 
Peripherie, den man Quadrant nennt. 
Hat z. B. ein Winkel Rechte, so hat 
der zugehörige Bogen f Quadranten. Da 
man als Winkeleinheit oft den Grad, d. h. 
den 90. Theil des Rechten nimmt, so 
kann als Bogcncinheit der 90. Theil des 
Quadranten, den man ebenfalls Grad 
nennt, dienen, und alle Bogen werden 
dann durch dieselbe Zahl bestimmt sein, 
als die zu ihm gehörigen Centriwinkel. 
Der 60. Theil eines Grades, die Minute, 
und der 60. Theil der Minute, die Se 
cunde, beziehen sich also nun in gleicher 
Weise auf Bogen wie auf Winkel. Auf 
diesen Betrachtungen beruht offenbar der 
Gebrauch des Transporteur. 
VI, Lehrsätze und Zusätze. 
Lehrsatz 16. „Stehen Peripherie- 
winkel und Centriwinkel auf demselben 
Bogen, so ist der letztere doppelt so gross 
als der erstere.“ 
Beweis. Wir unterscheiden 3 Fälle. 
Fall a. Der Mittelpunkt О liegt in einem 
Schenkel des Peripheriewinkels ACB (Fig. 
173). Fall b. Derselbe liegt innerhalb 
der Winkelebene des Peripheriewinkels. 
Fall c. Derselbe liegt ausserhalb dieser 
Winkelebene. 
Fig. 173. 
Führen wii 
Der Centri 
Aussenwinkel 
ecks OCB, i 
und da diese 
AOB = 20 CI 
ACB der mi 
AB stehende 
die beiden a 
ziehen wir ( 
und 175) Lii 
gezeigt: DO 
oder Beides 
Falle c. das 
ziehend, ergil 
unser Satz b 
Wenn der 
so ist der zu 
(Fig 176) gh 
Peripheriewin 
ten, d. h. 
Zusatz 1, 
Halbkreise is 
Wenn fern 
177) dem Ki 
ist von zwei g