Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 178. 
nach AB gezogen sind, ist aber die auf 
AB senkrechte, die kürzeste, also: 
Lehrsatz 17. „Die vom Berührungs 
punkte einer Tangente nach dem Mittel 
punkte gezogene Linie steht auf der 
Tangente senkrecht.“ 
Dieser Satz lässt sich auch ausdrücken: 
„Ein Loth vom Mittelpunkte auf die 
Tangente gefällt, geht durch den Be 
rührungspunkt.“ 
Denn es gibt ja nur ein solches Loth. 
Aber unser Satz lässt sich auch umkehren. 
Lehrsatz 18. „Jede Linie, die durch 
den Endpunkt C eines Radius OC gezogen 
ist (Fig. 179) und auf demselben senk 
recht steht, ist eine Tangente.“ 
Beweis. Wäre AB keine solche, 
und stände doch auf CO senkrecht, so 
müsste sie einen zweiten Punkt A mit 
dem Kreise gemein haben, es wäre also 
AO ein Halbmesser, also AO = CO und 
Winkel OAC—OCA=zR, was unmög 
lich ist. 
Lehrsatz 19. „Wenn zwei Tangen 
ten einen Schnittpunkt haben, so sind 
die Entfernungen ihrer Berührungspunkte 
von demselben gleich. Auch geht die 
Halbirungslinie ihres Winkels durch den 
Mittelpunkt.“ 
Beweis. Seien AC und BC (Fig. 179) 
die Tangenten, O der Mittelpunkt; wir 
ziehen AO, OB und CO, so ist 
A AOC ¥ BOC, 
weil CO — CO, AO = BO als Radien, 
Winkel A — B als Rechte, also AC—BC, 
Winkel ACO — BCO. In der That also 
geht die Halbirungslinie des Winkels ACB 
durch den Mittelpunkt. 
Lehrsatz 20. „Zwei Kreise, welche 
sich berühren, haben im Berührungs 
punkte eine gemeinschaftliche Tangente.“ 
Beweis. Offenbar nämlich fällt der 
Berührungspunkt A (Fig. 180) mit den 
Mittelpunkten O und C in eine Linie 
Fig. 179. 
(Lehrsatz 13.); die Senkrechte AD auf OC 
steht also auf beiden Halbmessern OA 
und CA senkrecht, und ist also Tangente 
beider Kreise. 
Lehrsatz 21. „Zieht man durch 
einen Punkt der Peripherie eine Sehne 
Fig. 180. 
und eine Tangente, so ist der Winkel 
dieser Linie gleich dem Peripheriewinkel, 
der auf dem dazwischen liegenden Bogen 
steht.“ 
Beweis. Seien CA (Fig. 181 und 182) 
die Tangente, CB die Sehne, so soll der 
auf Bogen CEB stehende Periphcrie- 
winkel gleich Winkel ACB sein. Wir 
nehmen zunächst an, dieser Winkel sei 
ein spitzer (Fig. 181). Den Peripherie 
winkel BDC ziehen wir so, dass sein 
einer Schenkel CD durch den Mittelpunkt 
geht. Dann ist Winkel DCA — R, also 
auch DCB-\-BCA~R, ferner Winkel 
im Halbkreise DBC = R, und die Summe