Raumlehre. 
Fig. 181. 
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Raumlehre. 
Fig. 183. 
Inkrechtc AD auf OC 
* Halbmessern OA 
d ist also Tangente 
,Zieht man durch 
pherie eine Sehne 
so ist der Winkel 
na Peripheriewinkel, 
en liegenden Bogen 
4 (Fig. 181 und 182) 
Sehne, so soll der 
tehende Peripherie- 
1 ACB sein. Wir 
dieser Winkel sei 
Den Peripherie- 
wir so, dass sein 
rch den Mittelpunkt 
kel DCA — R, also 
R, ferner Winkel 
ß, und die Summe 
der beiden anderen Winkel des Dreiecks 
FBC-. FCB + BFC = R; diese Gleichung 
in Verbindung mit FCB+BCA — 11 
gibt RFC — BFC — BCA. - Wäre BCA 
ein Rechter, so wäre BC der Durchmesser, 
BDC der Winkel im Halbkreise, also 
ebenfalls ein Rechter. Sei jetzt (Fig. 182) 
ACB ein stumpfer Winkel, BDC der 
Winkel auf Bogen BEC, Winkel BFC 
innerhalb dieses Bogens, so betragen die 
Winkel E und D zwei Rechte als Winkel 
im Kreisvierecke, E aber steht auf" Bo 
gen BDC und ist also gleich dem spitzen 
Winkel BCF, dem Nebenwinkel von BCA ; 
/ Fig. 182. 
da nun BCF + BCA = 2R, 
und E-\-D — 2R, so muss BDC = BCA sein, 
was zu beweisen war. 
Schliesslich erwähnen wir noch einen 
Satz von dem dem Kreise umschriebenen 
Vierecke. 
Lehrsatz 22. „In jedem dem Kreise 
umschriebenen Vierecke ist die Summe je 
zweier gegenüberliegender Seiten gleich.“ 
Beweis. Sei ABDO (Fig. 183) das 
Viereck, E, F G, II die Berührungs 
punkte, so ist nach Satz 19.: 
AE—AH, BG ~ Bll, DE-DF, OG-OF, 
also durch Addition; 
AE 4- BG + DE + 0G = AU + BH 
+ DF -f OF, 
oder: 
AD 4-BO - AB 4- DO. 
7) Geometrische Constructi onen. 
I. Einleitung. 
Geometrische Constructionen haben den 
Zweck, gewisse Punkte, Linien, Winkel aus 
gegebenen Bedingungen zu finden, welche 
sich auf Lage und Grössenverhältnisse be 
ziehen. Es ist dazu das Ziehen von graden 
und krummen Linien nöthig. Im engem 
Sinne versteht man unter geometrischer 
Lösung indess eine solche, wobei nur 
die grade Linie und der Kreis ver 
wendet sind. Da sich auch die Lage von 
Raumgrössen zuletzt immer auf Grössen 
verhältnisse zurückführen lässt, so steht 
der Construction immer eine Berechnung 
gegenüber, welche ebenfalls die Aufgabe 
löst, und beide Lösungen stehen in der 
merkwürdigen Beziehung, dass wenn die 
letztere zu einer einfachen oder quadra 
tischen Gleichung führt, immer die Con 
struction mittels der graden Linie und 
des Kreises geschehen kann. (Diese Be 
ziehung ist in dem Artikel: „Quadratische 
Gleichung“ bewiesen) 
Was die Art und Weise der Construc 
tionen anbetrifft, so merken wir zunächst 
folgende Grundwahrheiten: 
A) „Ein Punkt kann gegeben sein, 
wenn man zwei (grade oder krumme) 
Linien kennt, die durch denselben gehen, 
sich also in ihm schneiden. Diese Linien 
nennt man jede: „Ort“ des fraglichen 
Punktes. — Sind beide Linien grade, so 
haben sie nur einen Schnittpunkt, der 
Punkt kann also nur einer sein. Ist 
ein Ort ein Kreis, der andere eine Grade 
oder beide Kreise, so können 2 Schnitt- 
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