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Raumlehre. 
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Raumlehre. 
ente und Sehne ge- 
ist der Peripherie- 
lazwischen liegenden 
it also : 
AB AD 
AC~ AB’ 
folgt. 
A (Fig. 213) inner- 
nd ist die eine Sehne 
ser, die andere DC 
■echt, so ist DA —CA, 
AE. 
213. 
man aus irgend einem 
ichte nach der Peri- 
Quadrat gleich dem 
»schnitten des Durch- 
ätze geben wichtige 
ireisvierecke. 
,In jedem Kreisvier- 
uct der Diagonalen 
er Producteje zweier 
Seiten. 
soll sein (Fig. 214) 
1 + BC-AD. Ziehe 
;el ABE = BBC, so 
i DBC, denn ausser 
in Winkeln ist Winkel 
Periphcriewinkel auf 
ist A CBE\S> DBA, 
' — BDA als Peri 
gen BÄ, und Winkel 
eidc das Stück EBD 
die Reste die Winkel 
id. Aus dem ersten 
eiecke erhalten wir: 
DB 
DC' 
in: 
DB 
DA' 
Fig. 214. 
d. h.: 
AB - DC = AE • DB, 
CB -DA -CE- DB, 
und durch Addition der beiden letzten 
Gleichungen: 
AB-DC+CB.- DA 
= DB(AE + CE)= DB-AC, 
was zu beweisen war. 
Um noch eine Beziehung im Kreis 
viereck zu finden, ist zunächst ein andrer 
Satz unerlässlich: 
Lehrsatz 4. „Wenn man durch die 
Eckpunkte eines Dreiecks einen Kreis 
legt, so ist das Product zweier Dreieck- 
Fig. 215. 
. AB-BD-AD 
ABD — 
2d 
seiten gleich dem Product der dazwischen 
liegenden Höhe uud des Durchmessers.“ 
Beweis. Sei ABC (Fig. 215) das 
Dreieck, BD auf AC senkrecht, BE der 
Durchmesser, so soll sein 
AB- BC=BD-BE. 
Ziehe EA, so ist A BAE er BDC, denn 
Winkel E — C als Periphcriewinkel auf 
Bogen BA, und Winkel BAE —BDC 
, , , BE BA 
als rechte, also; ~ — - -yy woraus unser 
Satz folgt. 
Bezeichnet man noch den Flächen 
inhalt des Dreiecks mit f, so ist 
also: 
2f- AC-BD, 
BD = 
K 
AC 
AB•BC — 
2f • BE 
AC ’ 
also: 
AB -BC - AC 
2BE ~ 
d. h. 
Lehrsatz 5. „Der Flächeninhalt eines 
Dreiecks ist gleich dem Product seiner 
Seiten dividirt durch den doppelten Durch 
messer des umschriebenen Kreises.“ 
Sei jetzt wieder AB CD (Fig. 216) ein 
Kreisviereck. Sei d der Durchmesser 
des Kreises, so ist wenn wir mit ABC, 
ABD u. s. w. die Flächeninhalte der ent 
sprechenden Dreiecke bezeichnen, nach 
vorigem Satze: 
Fig. 216. 
Wenn man die beiden ersten und die beiden letzten Gleichungen addirt, so erhält 
man in beiden Fällen den Flächeninhalt des Vierecks, also zwei gleiche Resultate 
für denselben, nämlich: