Raumlehre.
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Raumlehre.
A B • BC • AC + AD • DC- AC Aß - BD -AD + DB-BC- DC
2d ~~ ~ 2d
also mit Unterdrückung des gemeinschaftlichen Nenners:
AC(AB - BC + AD -DC) = Bl)(AB -AD + BC- DC)
oder;
AC _ AB - AD + BC - DC
~BD ~ ab-bc + adTdc'
dies gibt folgenden Satz:
Lehrsatz 6. „In jedem Kreisviereck verhalten sich die Diagonalen wie die
Summen der Produete je zweier in der entsprechenden Diagonale znsammen-
stossenden Seiten.“
Scholion. Die Sätze 3. und 6. machen es immer möglich, wenn die Zah-
lenwerthe der vier Seiten eines Kreisvierecks gegeben sind, die der Diagonalen
zu finden. Sei AB = a, BC—b, CD=c, DA — d, AC - x, BD = y, so ist;
xy — ac \- bd,
x _ ad -f- bc
y ab + cd
Beide Gleichungen multiplicirt gehen:
2 _ ( ac “h ( a d + bc)
ab + cd
und die erste durch die zweite dividirt:
2 _ (rtc + bd) {ad + cd)
ad + bc
Die Diagonalen sind also die Quadrat
wurzeln der eben gefundenen Ausdrücke.
III. Definition und Lehrsätze.
Die folgenden Sätze beziehen sich auf
die einem Kreise umschriebenen Dreiecke.
Definition. Man nennt einen Kreis
einem Dreieck innerlich eingeschrie
ben, wenn derselbe von 3 Seiten des
Dreiecks berührt wird, und innerhalb
des Dreiecks liegt. Ein Kreis ist dage
gen dem Dreiecke äusscrlich einge
schrieben, wenn er von den Seiten (die
selben ins Unendliche verlängert ge
dacht), berührt wird, aber ausserhalb
des Dreiecks liegt.
Lehrsatz 7. „Halbirt man 2 Winkel
eines Dreiecks, so ist der Schnittpunkt
der Halbirungslinic der Mittelpunkt eines
innerlich eingeschriebenen Kreises. Hal-
birt man zwei Ausscnwinkcl eines Drei
ecks , welche einen gemeinschaftlichen
Schenkel haben, so ist der Schnittpunkt
der Halbirungslinien der Mittelpunkt
eines dem Dreieck äusserlich eingeschrie
benen Kreises.“
Beweis. Sei ABC (Fig. 217) das
Dreieck, AO und BO die Halbirungs
linien der Winkel A und B, DO, EO,
FO senkrecht auf den Seiten, so folgt
sehr leicht die Congruenz der Dreiecke
AOF und AOE (2 Seiten und ein Winkel
sind gleich) und ebenso der Dreiecke
BOF und BOD, cs ist also OF ~ OE
und auch OF = OD\ ein von O mit
Fig. 217.
Radius OF gezogener Kreis geht also
durch die Punkte F, D und E, und da
die Linien AB, BC, AC auf den Radien
senkrecht stehen, sind alle 3 Berührungs-
linicn.
Halbirt man jetzt die Aussenwinkel
hei A und B (Fig. 218) durch die Linien
AO und BO, und zieht OU, OE, OF
auf die Seiten senkrecht, so lassen sich
ganz dieselben Schlüsse machen; OF
ist also der Radius eines äussern Be
rührungskreises.
Zusatz 1. „Zieht man von dem Mittel
punkt O eines eingeschriebenen Kreises
eine Linie nach der dritten Winkelspitze C,
so wird auch der entsprechende Winkel
halbirt.“
Beweis. Es ist A COE ^ COO (Fig.
217 und 218) (zwei Seiten und der rechte