Full text: R - S (6. Band)

Raumlehre. 
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Raumlehre. 
A B • BC • AC + AD • DC- AC Aß - BD -AD + DB-BC- DC 
2d ~~ ~ 2d 
also mit Unterdrückung des gemeinschaftlichen Nenners: 
AC(AB - BC + AD -DC) = Bl)(AB -AD + BC- DC) 
oder; 
AC _ AB - AD + BC - DC 
~BD ~ ab-bc + adTdc' 
dies gibt folgenden Satz: 
Lehrsatz 6. „In jedem Kreisviereck verhalten sich die Diagonalen wie die 
Summen der Produete je zweier in der entsprechenden Diagonale znsammen- 
stossenden Seiten.“ 
Scholion. Die Sätze 3. und 6. machen es immer möglich, wenn die Zah- 
lenwerthe der vier Seiten eines Kreisvierecks gegeben sind, die der Diagonalen 
zu finden. Sei AB = a, BC—b, CD=c, DA — d, AC - x, BD = y, so ist; 
xy — ac \- bd, 
x _ ad -f- bc 
y ab + cd 
Beide Gleichungen multiplicirt gehen: 
2 _ ( ac “h ( a d + bc) 
ab + cd 
und die erste durch die zweite dividirt: 
2 _ (rtc + bd) {ad + cd) 
ad + bc 
Die Diagonalen sind also die Quadrat 
wurzeln der eben gefundenen Ausdrücke. 
III. Definition und Lehrsätze. 
Die folgenden Sätze beziehen sich auf 
die einem Kreise umschriebenen Dreiecke. 
Definition. Man nennt einen Kreis 
einem Dreieck innerlich eingeschrie 
ben, wenn derselbe von 3 Seiten des 
Dreiecks berührt wird, und innerhalb 
des Dreiecks liegt. Ein Kreis ist dage 
gen dem Dreiecke äusscrlich einge 
schrieben, wenn er von den Seiten (die 
selben ins Unendliche verlängert ge 
dacht), berührt wird, aber ausserhalb 
des Dreiecks liegt. 
Lehrsatz 7. „Halbirt man 2 Winkel 
eines Dreiecks, so ist der Schnittpunkt 
der Halbirungslinic der Mittelpunkt eines 
innerlich eingeschriebenen Kreises. Hal- 
birt man zwei Ausscnwinkcl eines Drei 
ecks , welche einen gemeinschaftlichen 
Schenkel haben, so ist der Schnittpunkt 
der Halbirungslinien der Mittelpunkt 
eines dem Dreieck äusserlich eingeschrie 
benen Kreises.“ 
Beweis. Sei ABC (Fig. 217) das 
Dreieck, AO und BO die Halbirungs 
linien der Winkel A und B, DO, EO, 
FO senkrecht auf den Seiten, so folgt 
sehr leicht die Congruenz der Dreiecke 
AOF und AOE (2 Seiten und ein Winkel 
sind gleich) und ebenso der Dreiecke 
BOF und BOD, cs ist also OF ~ OE 
und auch OF = OD\ ein von O mit 
Fig. 217. 
Radius OF gezogener Kreis geht also 
durch die Punkte F, D und E, und da 
die Linien AB, BC, AC auf den Radien 
senkrecht stehen, sind alle 3 Berührungs- 
linicn. 
Halbirt man jetzt die Aussenwinkel 
hei A und B (Fig. 218) durch die Linien 
AO und BO, und zieht OU, OE, OF 
auf die Seiten senkrecht, so lassen sich 
ganz dieselben Schlüsse machen; OF 
ist also der Radius eines äussern Be 
rührungskreises. 
Zusatz 1. „Zieht man von dem Mittel 
punkt O eines eingeschriebenen Kreises 
eine Linie nach der dritten Winkelspitze C, 
so wird auch der entsprechende Winkel 
halbirt.“ 
Beweis. Es ist A COE ^ COO (Fig. 
217 und 218) (zwei Seiten und der rechte
	        
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