Raumlehre. 
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Raumlehre. 
В 
Halbire durch Linie BC den Winkel ABO, 
so ist Winkel ABC—36°, also: 
A ACBcvABO, 
da zwei Winkel gleich, nämlich 
CAB — BAO, und ABC-AOB = 36° 
sind, also; 
AB _ AO 
AC ~ AB’ 
d. h.: 
AB 1 = AO-AC. 
Offenbar aber ist das A ACB (welches 
ABO ähnlich war) auch gleichschenklig, 
also AB~BCnnä ebenso hat BCO bei 
B und O zwei Winkel von 36°, also 
BC — CO, es ist also auch AB = CO, 
und man hat: AB 2 = CO- = .40 • AC, 
d. h. AB ist die Mediane des Radius AO. 
Also: 
„Suche die Mediane des Radius AO, 
so lässt sich diese zehnmal als Sehne 
an den Kreisbogen tragen und bildet somit 
die Seite des regelmässigen Zehnecks. 
Aufgabe 5. „Ein regelmässiges Fünf 
zehneck in einen Kreis zu schreiben.“ 
Sei AB die Seite des Fünfzehnecks 
(Fig. 232), so ist Winkel AOB = 24°. 
Fig. 232. 
Macht man einen Winkel AOC— 60°, so 
ist Winkel BOC= 60 — 24= 36°, also 
die zugehörigen Sehnen AO die Seite 
des Secksecks oder der Radius, BC die 
Seite des Zehnecks oder die Mediane des 
Radius. Also hat man folgende Con 
struction : 
„Trage von einem Punkte C der Pe 
ripherie aus zwei Sehnen CA und CB 
an, die bezüglich dem Radius und seiner 
Mediane gleich sind, so ist die Sehne В A 
Seite des Fünfzehnecks. 
Aufgabe 6. „Es ist ein Vieleck 
einem Kreise eingeschrieben. Es soll 
ein Vieleck von der doppelten, eins von 
der halben Seitenanzahl dem Kreise ein 
geschrieben und eins von derselben Seiten 
anzahl demselben umgeschrieben werden.“ 
Auflösung. Das erste wird nach 
Lehrsatz 4 erreicht, wenn man zu allen 
Seiten die Mittellinien zieht (die durch 
den Mittelpunkt gehen) und die Schnitt 
punkte, welche diese Linien mit der Pe 
ripherie haben, mit den angrenzenden 
Eckpunkten des gegebenen Vielecks ver 
bindet, Das zweite wird erreicht, indem 
man den ersten Eckpunkt des gegebenen 
Vielecks mit dem dritten, den dritten mit 
dem fünften u. s. w. verbindet. 
Offenbar bilden diese neuen Sehnen 
mit je zwei Seiten des gegebenen Viel 
ecks congruente Dreiecke, sie sind also 
unter einander gleich, und somit die 
Seiten eines regelmässigen Vielecks von 
der halben Seitenanzahl. 
Das Letzte lässt sich nach Lehrsatz 3, 
oder vielmehr nach den in dem Beweise 
dieses Satzes gemachten Schlüssen errei 
chen, wenn man durch alle Eckpunkte des 
gegebenen Vielecks, (oder auch durch die 
Punkte, in welchen die Mittellinien der 
Seiten die Peripherie schneiden), Tan 
genten legt. 
Sch oli on. Mit Benutzung dieser 
letzten Aufgabe kann man in und um 
einen Kreis folgende regelmässige Figu 
ren construiren: 
3- Eck, 6-Eck, 12-Eck, 24-Eck u. s.w. 
4- Eck, 8-Eck, 16-Eck, 32-Eck u.s.w. 
5- Eck, 10-Eck, 20-Eck, 40-Eck u.s.w. 
15-Eck, 30-Eck, 60-Eck, 120-Eck u. s. w. 
Gauss hat aber gezeigt, dass sich 
überhaupt alle diejenigen regelmässigen 
Vielecke geometrisch, d. h. mit Hülfe 
des Kreises und der graden Linie 
construiren lassen, deren Seitenanzahl 
eine Primzahl ist von der Form: 2 n +l, 
wo n natürlich eine positive ganze Zahl 
sein muss. Für n = 1 erhalten wir das 
Dreieck, für n = 2 das Fünfeck, n = 3 
fällt aus, da 2 5 -f 1 =9 keine Primzahl 
ist. n — 4 gibt das Siebzehneck, und so 
mit lässt auch dieses sich geometrisch 
construiren. (Vergi, den Artikel: Kreis- 
theilung). — Wie sogleich zu sehen, ist 
die Aufgabe ein regelmässiges и-Eck in 
einen Kreis zu zeichnen identisch mit der, 
die Peripherie des Kreises in n gleiche 
Theile zu theilen. 
III. Aufgaben. 
Dieselben beziehen sich auf die Be 
rechnung der Bestimmungsstücke derje 
nigen Vielecke, die so eben construirt 
worden sind. Wir setzen immer *, s t 
gleich der Seite, p, p, gleich dem klei- 
nen Radius, F 
inhalt des eit 
eingeschrieben« 
honen Vielecks 
Aufgabe V 
des eingeschri« 
nen regclmässi 
A uflösun] 
geschriebenen 
hörige Centriw 
und 
1) 
Diese Formeln 
satz 5. geben 
» = / 
also: 
2) p = r|, 
Dies gibt aucl 
„Der kleine 
Vierecks beträ 
oder: 
3) 
also: 
4) 
also : 
5) 
J 
also : 
6) 
Aufg ab e 6 
der eingeschric 
regelmässigen 
A u fl ö eu nj 
1) ' 
Q 
also ; 
2) p 
d. h.: