Raumlehre
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Raumlehre.
Fig. 242.
III. Hauptlehrsatz und Lehr
sätze.
Den folgenden Satz bezeichnen wir
wegen seiner Wichtigkeit als Hauptlehr
satz.
Lehrsatz 7. „Wenn zwei Linien
AB und CD (Fig. 243) einer dritten EF
parallel sind, so sind auch die beiden
erstem AB und CD mit einander parallel.“
Fig. 243.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass
AB und CD in einer Ebene liegen.
Denn wäre dies nicht der Fall, so könnte
man durch AB und Punkt C eine Ebene
legen, ABCG, diese möge Ebene CDEF
in Linie CG und Linie EF in G schnei
den. (Denn CG, welches CD schneidet,
kann nicht EF parallel sein). Es gehen
dann durch Punkte A, B, G, die nicht in
einer Linie liegen, zwei Ebenen nämlich
ABCG und auch die Ebene der Parallelen
AB und EF, was unmöglich ist.
Nehmen wir jetzt an, die Linien AB
und CD schnitten sich in Punkt K, so
gingen durch Punkt E, F, K die Ebene
der Parallelen CD und EF und die der
Parallelen AB und EF was ebenfalls
unmöglich ist. Also AB parallel CD.
Lehrsatz 8. „Sind zwei Ebenen
einer dritten parallel, so sind auch die
beiden ersten einander parallel.“
Beweis. Seien A, B, C (Fig. 244)
die Ebenen, und zwar sowohl A als B
Fig 244.
parallel C. Schnitten sich nun A und B,
so könnte man durch einen Punkt m
ihrer Durchschnittslinie und durch zwei
Punkte e und f von C eine neue Ebene
legen, die auch A und B schneiden
müsste, und zwar in Linien, die ef pa
rallel (Satz 3), also auch unter einander
parallel wären, was unmöglich ist, da
sie sich in m schneiden.
Lehrsatz 9. „Wenn die Schenkel
zweier Winkel parallel sind, so sind auch
die Winkelebenen parallel.“
Beweis. Seien BAC und DEF die
Winkel (Fig. 245). Angenommen ihre
Ebenen schnitten sich in GH, so würde
jedenfalls ein Schenkel von ABC, AB
sich mit GH schneiden (denn beide Schen
kel können doch nicht GH parallel sein).
Aber DE parallel AB würde dann auch
GH schneiden, (denn sonst wäre DE
parallel GH, also auch GH parallel AB).
Es gingen also durch die drei Punkte
G, D, E zwei Ebenen, nämlich DEF
und die der parallelen Linien AB und DE,
was unmöglich ist.
