Raumlehre. 
Raumlehre. 
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AB hin, so sind Winkel CDF, EOF, 
CDG, EDG Eechte, und daher Dreieck 
CDF A- EDF, CDG £ EDG, woraus sich 
ergibt CF — EF, CG —EG, also Dreieck 
CGF EGF, und hieraus : 
Winkel CFG = EFlh 
Hieraus folgt dann: 
Dreieck CFH^EFH, 
(je zwei Seiten CF=EF, FH = FH, und 
die eingeschlossenen Winkel sind gleich) 
und hieraus folgt CH = EH, also wegen 
Gleichheit der dritten Seite, 
Dreieck CDU £ EDH, 
also auch Winkel CDH = EDH. Diese 
Winkel aber sind Nebenwinkel, und so 
mit rechte, womit unser Satz erwiesen ist. 
Definition. Wenn eine Linie auf 
zweien und somit auf jeder in einer 
Ebene senkrecht steht, so sagt man: 
„Die Linie stehe auf der ganzen 
Ebene senkrecht.“ 
Lehrsatz 2, „Drei Linien, die auf 
einer vierten senkrecht stehen, und durch 
einen Punkt derselben gehen, liegen in 
einer Ebene.“ 
Beweis. Stehe Linie AB (Fig. 248) 
mit BC, BD und BE senkrecht. Durch 
Eig. 248. 
BC und BD legt man eine Ebene, auf 
welcher nach dem vorigen Satze AB 
senkrecht steht. Läge BE nicht in die 
ser Ebene, so würde die durch ABE ge 
legte Ebene die erstere etwa in BF 
schneiden, also die Winkel ABF und 
ABE, welche in einer Ebene liegen, 
Rechte sein, was unmöglich ist. 
Lehrsatz 3. „Steht eine Linie AB 
(Fig. 249) auf einer Ebene senkrecht, so 
steht auch jede mit der ersteren paral 
lelen Linie CD auf der letzteren senk 
recht.“ 
Beweis. Zieht man durch die Schnitt- 
Fig. 249 
punkte B und D beider Linien AB und 
CD mit der Ebene in derselben DG pa 
rallel BE und DH parallel BF, so ent 
stehen die Winkel 
ABE = CDG, ABF = CDH, 
oder: 
ABE = ABF = R, 
also steht auch CD auf zweien in der 
Ebene, mithin auf der ganzen Ebene 
senkrecht. 
Lehrsatz 4. „Durch einen Punkt 
innerhalb oder ausserhalb einer Ebene 
lässt sich nur eine Senkrechte auf der 
selben ziehen.“ 
Beweis. Liege Punkt C ausserhalb 
oder innerhalb der Ebene AB (Fig. 250 
und 251) und mögen zwei auf AB senk- 
Fig. 250. 
rechte Linien CD nnd CE hindurch gehen, 
so wird die Schnittlinie der Ebene AB 
und CDE, also (Fig. 250) DE oder CF 
(Fig. 251), auf Linie CD und CE senk 
recht stehen, die mit derselben in einer 
Ebene liegen, was unmöglich ist. 
Lehrsatz 5. „Stehen zwei Linien 
Fig. 251. 
AB und C. 
senkrecht, 
Beweis 
parallel A 
DG paralle 
senkrecht, 
gen zwei a 
unmöglich 
Lehrsa 
(Fig. 253) 
senkrecht, 
Be weis 
AC und l 
durch Lin 
Linie AF 
Ebene ABI 
Ist AF, w 
werden ka 
von AC ui 
auch nicht 
BE der F 
und BE d 
Ebenen A 
muss dies 
scheben, v 
diesen Dur 
durch Punl 
auf AB ge: