Raumlehre. 
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jede durch AB 
enkrecht.“ 
Beweis. Sei AE die durch AB ge 
legte Ebene, BE der Durchschnitt mit 
CD. Auf derselben ziehe man in Ebene 
CD senkrecht BF, so sind AB und BE 
auf BE senkrecht, also ABF der Nei 
gungswinkel der Ebene, und dieser ist 
ein rechter, da jede Linie BF in CD 
auf AB senkrecht steht. 
Lehrsatz 11. „Wenn zwei Ebenen 
auf einander senkrecht stehen, und man 
zieht in einer eine Senkrechte auf den 
Durchschnitt, so steht diese auf der an 
dern Ebene senkrecht. 
Beweis. Seien AE und CD (Fig. 
257) die Ebenen, BE der Durchschnitt, 
Winkel EBF ein rechter. Zieht man 
noch AB auf BE senkrecht in Ebene 
AE, so ist ABF der Neigungswinkel, 
also ein rechter, mithin BF auf BE und 
BA d. h. auf der ganzen Ebene AE 
senkrecht. 
Lehrsatz 12. „Wenn zwei Ebenen 
auf einer dritten senkrecht stehen, so 
steht auch der Durchschnitt der beiden 
erstem auf der letzteren senkrecht.“ 
Beweis. Es mögen die Ebenen AC 
und AD (Fig. 258) auf CD senkrecht 
stehen. 
Fig. 258. 
Sei AB der Durchschnitt von AC und 
AD, BC der von AC und CD, BD der 
von AD und CD. Ziehe in CD, BE 
auf CB, BF auf BD senkrecht, so steht 
BE auch auf AC, BF auf AD senkrecht, 
also BE und BF auf der beiden Ebenen 
gemeinschaftlichen Linie AB, und mithin 
letztere auf der ganzen Ebene CD senk 
recht. 
Lehrsatz 13. „Steht eine Linie 
oder eine Ebene auf einer anderen Ebene 
senkrecht, so steht erstere auf jeder der 
letzteren parallelen Ebene senkrecht.“ 
Beweis. A) Seien AB und CD (Fig. 
259) zwei parallele Ebenen, und Linie 
EF auf AB senkrecht. Lege man durch 
EF zwei Ebenen, welche AB in GH und 
GK, CD in LM und LN schneiden, so 
dass also GH parallel LM, GK parallel 
LN ist. Da nun GH und GK auf EF 
Fig. 259. 
senkrecht stehen, so muss dies auch mit 
LM und LN, d. h. mit der Ebene CD 
stattfinden. 
B) Stehe Ebene GHML (Fig. 259) 
auf einer der parallelen Ebenen AB und 
CD senkrecht, also auf AB, so ziehe auf 
den Durchschnitt GH mit AB in Ebene 
GHLM die Senkrechte EF, so steht 
diese auf Ebene AB also nach vorigem 
Satze auch auf CD senkrecht. Gleiches 
also findet mit jeder durch EF gelegten 
Ebene, mithin auch mit GHML statt. 
IV. Definitionen und Satz, 
Definitionen. Der Theil einer be 
liebigen Linie, welcher zwischen zwei 
parallelen Ebenen liegt heisst schiefe 
Entfernung; der Theil eines Lothes 
auf beiden parallelen Ebenen, welcher 
zwischen denselben liegt, grade Ent 
fernung oder Entfernung. 
Lehrsatz 14. „Die grade Entfer 
nung zwischen zwei parallelen Ebenen 
ist zugleich die kürzeste.“ 
Beweis. Ziehe durch Punkt O (Fig. 
260) in Ebene AB nach der parallelen 
Ebene CD das Loth OE und die belie 
bige Linie OE, sei EF der Durchschnitt 
von CD und Ebene EOF, so ist OE 
senkrecht auf EF also kleiner als OF. 
OF war aber beliebig gerichtet. Man 
kann auch die schiefe Entfernung durch 
einen andern Punkt als O legen. Denn 
sie ist immer einer durch O gehenden 
Linie OF parallel, und auch derselben 
gleich (als parallele Linien zwischen pa 
rallelen Ebenen). 
V. Definition und Lehrsätze. 
Definition. Möge Linie CD (Fig. 
261.) die Ebene AB in D schneiden, so 
kann man durch D eine beliebige Linie