Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 260. 
in AB ziehen, welche mit CD einen 
Winkel macht. Von allen diesen Win 
keln unterschneidet man den folgenden: 
Durch irgend einen Punkt C von CD 
ziehe man ein Loth auf AB, welches 
diese Ebene in D schneidet, und verbinde 
D mit E. Der Winkel C'DE heisst dann 
der Neigungswinkel der Linie 
CD mit Ebene AB. Wie auch Punkt 
C in CD liege, so ist der Neigungs 
winkel derselbe, denn die Lothe CE und 
C'E' auf AB werden parallel sein, und 
mit CD in einer Ebene liegen; es wird 
Fig. 261. 
also C'E' durch den Durchschnittspunkt 
der Ebene ECD mit AB, d. h. durch 
DE gehen. 
Lehrsatz 15. »Von allen Winkeln, 
welche eine Linie mit andern in einer 
gegebenen Ebene befindlichen Linien 
macht, ist der Neigungswinkel der 
kleinste.“ 
Beweis. Sei ABE (Fig. 262) der 
Neigungswinkel der Ebene CD und der 
Linie AB, BF eine beliebige in CD durch 
B gelegte Linie. Das von A auf CD 
gefällte Loth geht dann durch einen 
Punkt E von BE (nach der Definition 
des Neigungswinkels). Mache jetzt 
BF = BE und ziehe AF, so haben die 
Dreiecke ABE und ABF je zwei gleiche 
Seiten, AB = AB, BE = BF, von den 
Fig. 262. 
dritten Seiten aber ist AE die kürzere 
(sie ist ein Loth auf die Ebene CD und 
mithin auf die Verbindungslinie EF). Es 
liegt also auch AE der kleinere Winkel 
ABE gegenüber, was zu beweisen war. 
Lehrsatz 16. „Jede Linie oder Ebene 
schneidet zwei parallele Ebenen unter 
demselben Winkel.“ 
Beweis. A) Möge AB parallel CD 
(Fig. 263) sein, und Linie EF dieselben 
bezüglich in K und L schneiden. Fälle 
von E aus ein Loth auf beide Ebenen, 
welches dieselben in K und H schneidet. 
Es sind dann die Durchschnitte der 
Fig. 263. 
IT 
E • 
B 
a L JL 
/) 
r/ r 
/HZ 
N / 
r 
Ebene FEH mit den gegebenen, also 
KG und LH parallel, somit Winkel 
EKG = ELH. Dies aber sind die Nei 
gungswinkel von EF mit den gegebenen 
Ebenen. 
B) Schneidet Ebene HEF die parallelen 
Ebenen AB und CD in KG und LH, 
so ziehe KM auf KG senkrecht in Ebene 
AB, und LN auf LH senkrecht in CD. 
Also Winkel GKM= HLN = R. Diese 
beiden Winkel haben zwei parallele 
Schenkel KG und LH-, es ist also auch 
KM parallel LN. Zieht man nun in HEF, 
Linien KU auf KG und LT auf LH 
senkrecht, so sind auch diese Linien pa 
rallel, und folglich Winkel UKM = TLN. 
Das aber sii 
Ebene FEH 
L ehrsati 
AB und CL 
Ebene liegen 
dritte FF fii 
recht steht 
Entfernung.“ 
* Beweis. 
CD' parallel 
parallel AB. 
Ebene, die a 
damit paralh 
steht, ferner 
auf B'CD ui 
senkrecht ste 
beiden Eben 
durch AB s 
und auf der 
also auch ar 
senkrecht stel 
Bedingungen 
auf den par 
B'CD senkte 
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auch der in d 
AB und CD 
13) Vond 
und den S] 
I. Dcfin 
Wenn sieb 
MA, MB, MC 
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Diese Linien 
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