2. 
AE die kürzere 
3 Ebene CD und 
ngslinie EF). Es 
kleinere Winkel 
iu beweisen war. 
Linie oder Ebene 
e Ebenen unter 
AB parallel CD 
nie EF dieselben 
schneiden. Fälle 
af beide Ebenen, 
und H schneidet, 
urchschnitte der 
5. 
gegebenen, also 
, somit Winkel 
ier sind die Nei- 
lit den gegebenen 
EF die parallelen 
n KG und LH, 
nkrecht in Ebene 
senkrecht in CD. 
JLN = ß. Diese 
zwei parallele 
es ist also auch 
man nun in HEF, 
ind LT auf LH 
diese Linien pa- 
kel UKM=TLN. 
Das aber sind die Neigungswinkel der 
Ebene FEH bezüglich mit AB und CD. 
Lehrsatz 17. „Wenn zwei Linien 
AB und CD (Eig. 264) nicht in einer 
Ebene liegen, so lässt sich immer eine 
dritte EF finden, die auf beiden senk 
recht steht und dies ist ihre kürzeste 
Entfernung.“ 
Eig. 264. 
* Beweis. Ziehe durch Punkt A Linie 
CD' parallel CD und durch C Linie A'B’ 
parallel AB. Lege dann durch AB eine 
Ebene, die auf BAD' und mithin auf der 
damit parallelen Ebene B'CD senkrecht 
steht, ferner durch CD eine Ebene, die 
auf B'CD und mithin auch auf BAD' 
senkrecht steht. Der Durchschnitt dieser 
beiden Ebenen EF wird dann sowohl 
durch AB als auch durch CD gehen, 
und auf den Ebenen BAD' und B’CD, 
also auch auf den Linien AB und CD 
senkrecht stehen, mithin die angegebenen 
Bedingungen erfüllen. Da ferner EF 
auf den parallelen Ebenen BAD' und 
B'CD senkrecht steht, so ist sie die kür 
zeste Entfernung dieser Ebenen,, mithin 
auch der in denselben befindlichen Linien 
AB und CD. 
13) VondenkorperlichenEcken 
und den Sphärischen Figuren. 
I. Definitionen. 
Wenn sich drei oder mehrere Linien 
MA, MB, MC, MD ..., welche nicht in 
einer Ebene liegen, in einem Punkte 
schneiden (Fig. 265), so sagt man, dass 
sie eine körperliche Ecke bilden. — 
Diese Linien heissen Kanten der Ecke. 
Man unterscheidet sonach die Ecken in 
dreikantige, vierkantige u. s. w. Durch 
je zwei auf einander folgende Kanten 
(d. h. als auf einander folgende gedachte, 
denn die Ordnung ist keine bestimmte), 
denkt man sich eine Ebene gelegt, und 
die Ecke hat sonach eben soviel Ebe- 
Eig. 265. 
nen als Kanten. — Je zwei auf einan 
der folgende Kanten bilden einen Kan 
tenwinkel, der Neigungswinkel je 
zweier auf einander folgenden Ebenen 
heisst Ebenenwink el. Die Anzahl 
der Kantenwinkel und der Ebenenwinkel 
ist gleich der der Seiten. 
II. Definitionen und Sätze. 
Definitionen. Der Ort aller Punkte 
im Räume, welche von einem gegebenen 
gleiche Entfernung haben, d. h. die Ober 
fläche, in der alle diese Punkte liegen, 
nennt man Kugelfläche. Die Kugcl- 
flächc entspricht also gewissermaassen 
im Raume der Kreislinie. Die Defini 
tion der Kugelflächc lässt sich auch so 
geben. Sie ist eine Oberfläche, deren 
Punkte alle von einem gegebenen gleich 
weit entfernt sind. Auch kann man sich 
eine Kugel entstanden denken, wenn 
man einen Halbkreis um seinen als fest 
betrachteten Durchmesser sich drehen 
lässt. Denn die Kreislinie wird dann 
eine Fläche beschreiben, die von dem 
festblcibenden Mittelpunkt in allen Punk 
ten gleiche Entfernung behält, und somit 
eine Kugelfläche ist. 
Der von der Kugclfläche begrenzte 
Körper heisst Kugel, der Punkt, von 
dem die Kugclfläche gleichweit entfernt 
ist, Mittelpunkt oder Centrum wie 
beim Kreise, eben so gelten die Aus 
drücke Halbmesser (Radius) und 
Durchmesser (Diameter) auch für 
die Kugel. Der erstere Ausdruck be 
zeichnet also die Verbindungslinie der 
Kugelfläche mit dem Mittelpunkte, der 
letztere eine grade Linie, welche zwei 
Punkte der Kugelflächc verbindend durch 
den Mittelpunkt geht. 
Denkt man sich in einem Endpunkte 
des festen Durchmessers des Halbkreises, 
welcher durch seine Drehung die Kugel 
bildete, eine Tangente, so bleibt diese 
während der ganzen Drehung auf diesem 
Durchmesser senkrecht, sie wird also 
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