Raumlehre. 
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Raumlehre. 
eine anf diesem senkrechte Ebene be 
schreiben, welche nur einen Punkt mit 
der Kugel gemein hat. Da man jeden 
Punkt der Kugelflächc aber als Endpunkt 
des festen Durchmessers ansehen kann, 
so hat man den Satz: 
„Errichtet man in einem Punkte der 
Kugelfläche eine Ebene senkrecht auf 
dem durch diesen Punkt gehenden Kugel 
radius, so hat diese nur den einen Punkt 
mit der Kugelfläche gemein.“ Diese 
Ebene heisst Tangentialebene. 
Lehrsatz 1. „Wird eine Kugel 
durch eine Ebene geschnitten, so ent 
steht immer als Durchschnitt ein Kreis, 
dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des 
vom Mittelpunkte der Kugel gefällten 
Lothes auf die Ebene ist.“ 
Beweis. Sei O die Kugel, AB ein 
Durchschnitt derselben (Eig. 266), OC 
Fig. 266. 
das von O auf AB gefällte Loth. Es ist 
eben nur zu beweisen, dass beliebige 
Punkte der Begrenzung A und B von C 
gleich weit entfernt sind, es muss diese 
Begrenzung dann eine Kreislinie sein. 
Ziehe CA, CB, OA, OB so entsteht; 
Dreieck AOC £ BOC, 
(AO — BO als Kugelradien, OC — OC, 
Winkel OCA—OCB als Rechte), also 
CA = CB, 
was zu beweisen war. 
Lehrsatz 2. „Von allen Kreisen, 
die durch Durchschneiden der Kugel 
entstehen, ist derjenige der grösste, wel 
cher von einer durch den Mittelpunkt 
der Kugel gehenden Ebene abgeschnitten 
wird, und die Kreise werden um so 
kleiner, je mehr sicli ihre Ebenen von 
der damit parallelen Ebene, welche durch 
den Mittelpunkt gehen, entfernen. 
Beweis. Der Kreis dessen Ebene 
durch den Mittelpunkt geht, hat den 
Halbmesser der Kugel ebenfalls zum 
Halbmesser, derjenige, welcher in Ebene 
AB (Fig. 266) liegt, hat den Radius AC 
und die Entfernung OC vom Mittelpunkt, 
da nun: AC 1 — AO- — OC 1 , also AC 2 
desto kleiner ist, je grösser OC wird, 
so findet gleiches auch mit AC statt, 
womit unser Satz bewiesen ist. 
III. Definitionen. 
Jeder Kreis, dessen Ebene durch denMit- 
telpunkt der Kugel geht, heisst grösster 
Kreis der Kugel. Da man durch 
jede drei Punkte eine Ebene legen kann, 
so lässt sieh auch durch jede zwei Punkte 
der Kugelfläche ein grösster Kreis legen, 
und es wird nur einer möglich sein, 
wenn diese beiden Punkte nicht End 
punkte eines Durchmessers sind. — Fin 
det Letzteres aber statt, so liegen sie 
mit dem Mittelpunkt in einer Graden, 
und es lassen sich unendlich viel grösste 
Kreise hindurch legen. 
Offenbar schneiden sich aber jede zwei 
grösste Kreise in den Endpunkten eines 
Durchmessers. Denn ihre Ebenen gehen 
ja durch den Mittelpunkt, ihre Schnittlinie 
ist also eine durch Letztere gehende 
Grade, mithin ein Durchmesser. Zwei 
grösste Kreise auf derselben Kugel 
theilen einander somit in je zwei Halb 
kreise: ADB, ATB und ACB, AEB 
(Fig. 267). 
Fig. 267. 
Das von zwei grössten Halbkreisen, 
die zwei Punkte gemein haben, begrenzte 
Stück der Kugel ACBD heisst sphä 
risches Zwei eck. 
Wird durch ein sphärisches Zweieck ,ein 
dritter grösster Kreis CD gelegt, so wer 
den diese drei sich im Allgemeinen in 
drei Punkten A, C, ü schneiden. Der 
von den abgeschnittenen Bogen AC, CD, 
DA begrenzte Theil der Kugeloberfläche