Raumlehre. 
181 
Raumlehre. 
so werden die letztem, d. h. die Kanten 
winkel selbst kleiner als 4 Rechte sein 
müssen, was zu beweisen war. 
VII. Definitionen und Lehr 
sätze. 
Definitionen. Wenn man durch 
den Schnittpunkt O einer Ecke OABCD 
(Fig. 273) auf allen Ebenen derselben, 
Fig. 273. 
nach auswärts hin, Lothe errichtet, OA', 
OB', OC, 01)', so bilden diese die 
Kanten einer andern Ecke, die also mit 
der ersteren gleichviel Kanten hat. Diese 
letztere wird Suppl ementarecke der 
ersteren genannt. Legt man durch die 
ursprüngliche und durch die Supplementar- 
ecke eine Kugelfläche, so bilden beide 
sphärische Vielecke von gleicher Seiten- 
anzahl. Das der Supplementarecke nennt 
man Polarvieleck des ursprünglichen. 
Steht z. B, OA', auf Ebene OAB senk 
recht, so sind die Winkel A OA' und A'OB 
rechte. Die Entfernungen des Punktes A' 
von den Punkten A und B auf der Kugel 
sind also Quadranten. Man kann daher ein 
Polarvieleck eines gegebenen Viel 
ecks auch als ein solches definiren, dessen 
Eckpunkte von je zweien des gegebenen 
um einen Viertelkreis entfernt sind. 
Lehrsatz 8. „Ist OA'B' . . . die 
Supplementarecke von OAB . . ., so ist 
auch OAB ... die von Oä'B' ...“ 
Beweis. Es ist lediglich zu beweisen, 
dass wenn OA', OB' . . . (Fig. 273) be 
züglich auf den Ebenen OAB, OBC .. . 
senkrecht stehen, auch OA, OB bezüg 
lich auf OA’B', OB'C senkrecht stehen 
müssen. Stehe OA' auf OAB, OB' auf 
OBC senkrecht, so stehen beide Linien 
auf dem Durchschnitte OB senkrecht, 
mithin OB auf Ebene OA'B', also jede 
Kante der ursprünglichen Ecke senk 
recht auf einer Ebene der Supplementar 
ecke, was zu beweisen war. 
Scholion. Also die Bezeichnung 
Supplementarecke ist eine gegenseitige. 
Lehrsatz 9. „Jeder Kantenwinkel 
der einen von zwei Supplementarecken 
ergänzt den entsprechenden Ebenen 
winkel der andern zu zwei Rechten.“ 
Beweis. Seien AOB, BOC (Fig. 274) 
zwei auf einander folgende Ebenen der 
Fig. 274. 
einen Ecke, OD senkrecht auf AOB, OE 
auf BOC entsprechende Kanten der 
Supplementarecke. Zieht man nun auf 
OB senkrecht' OF in Ebene OAB, OG 
in Ebene BOC, so ist FOG der Nei 
gungswinkel dieser Ebenen und DO auf 
FO, EO auf GO senkrecht. Die vier 
auf BO senkrechten Linien DO, EO, 
FO, GO liegen aber in einer Ebene, 
und da somit 
DOE + DOF + FOG + GOE = 4 R 
ist, aber DOF und EOG Rechte sind, 
so ist 
DOE + FOG = 2R, 
was zu beweisen war. 
Zusatz. Wenn zwei Ecken entspre 
chend gleiche Kanten- und Ebenenwinkel 
haben, so findet dies somit auch bei 
den Supplementarecken statt. 
Lehrsatz 10. „Die Ebenenwinkel 
einer n kantigen betragen zusammen mehr 
als 2n — 4 und weniger als 2n Rechte. 
Beweis. Bei der Supplementarecke 
der gegebenen beträgt die Summe der