Raumlehre,
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Raumlehre.
Man theilt nach der Gestalt des Viel
ecks die Pyramiden somit in dreiseitige,
vierseitige u. s. w.
Die Prismen entstehen, wenn zwi
schen je zwei auf einander folgenden
von einer Anzahl paralleler Linien eine
Ebene gelegt, alle diese Ebenen aber
durch zwei parallele Ebenen durchschnit
ten werden. Diese beiden letztem bilden,
wie sogleich zu sehen, congruente Viel
ecke, und zwischen ihnen befinden sich
als Grenzflächen soviel Parallelogramme,
als die Vielecke Seiten haben. Jo nach
der Gestalt der Vielecke, theilt man auch
die Prismen in dreiseitige, vierseitige u.s.w.
II. Aufgabe und Lehrsätze.
Beziehungen zwischen der Anzahl und
Beschaffenheit der Ecken, Flächen und
Kanten eines Polyeder zu finden.
Auflösung. Wir bezeichnen mit f
die Anzahl der Flächen, mit e die der
Ecken, mit k die der Kanten eines Po
lyeder.
Nehmen wir ferner an, dass unter den
f Flächen, A Dreiecke, B Vierecke, C
Fünfecke, D Sechsecke u. s. w., sowie
unter den e Ecken « dreikantige, ß vier
kantige, y fiinfkantige, d' sechskantige
u. s. w. seien, so würde sein:
1) f=A+B+C+D+ ...
2) e = a + ß + y+ (f+...
Da in den A Dreiecken, den B Vier
ecken u. s. w. sich bezüglich SA, AB, 5C
Kanten befinden, jede Kante aber zu
zwei Flächen gehört, so hat man ferner:
3) 2k=SA+AB+5C+6D+ ...
und da Aehnliches auch für die Bezie
hung der Kanten zu den Ecken gilt:
4) 2k — 3« -f- 4d+5y "4" 6cf + ...
5) 2k-2f=A+2B + SC+AD + . ..
6) 2k—2e = a + 2ß+Sy+4:it + ...
Es folgt hieraus, dass die Ausdrücke:
A+3C+ 5E+.. . und a+Sy+5s+ ...
immer grade Zahlen sein müssen, oder
wenn man die jedenfalls graden Zahlen
2C + 4i£ + ..., 2y -f- 4s. •.
bezüglich abzieht, dass auch:
A+C + E-f-..., a + y + (+ ...
grade sind. D. h.
Lehrsatz 1. „In jedem Polyeder ist
die Anzahl derjenigen Flächen, welche
eine ungrade Seitenzahl, und derjenigen
Ecken, welche eine ungrade Kantenzahl
haben, immer eine grade. 11
Ausser den Relationen 1 — 4 ist aber
noch folgende von grosser Wichtigkeit.
Denken wir uns zunächst eine Anzahl
von Vielecken, welche, ohne einen Raum
völlig zu begrenzen, nach allen Richtun
gen ohne Unterbrechung mit einander
Zusammenhängen, mithin eine gebrochene
Fläche bilden. Man wird dann von einer
Peripherie dieser gebrochenen Fläche
sprechen können und darunter diejenigen
Kanten verstehen, die nur nach einer
Richtung hin Vielecke begrenzen. Nimmt
man von dieser gebrochenen Fläche von
der Peripherie aus ein Vieleck weg, so
wird eine ähnliche gebrochene Fläche
entstehen, in der die Anzahl f der Grenz
flächen um 1 kleiner ist. Da hierbei
auch eine Anzahl Kanten und die zwi
schen je zweien liegenden Ecken ver
schwinden, die beiden äussersten zu den
weggenommenen Kanten gehörigen Ecken
aber bleiben, so ist die Anzahl der ver
schwindenden Kanten um Eins grösser
als die der verschwindenden Ecken, und
bei der neuentstandenen Fläche also der
Ausdruck: f~\-e — k der nämliche wie
bei der alten. Indem man nun so fort
fährt, immer eine Fläche von der Pe
ripherie aus wegzunehmen, gelangt man
schliesslich, ohne dass sich f+e-k
ändert, bis auf ein Vieleck. Da bei
einem solchen nun die Anzahl der Ecken
der der Kanten gleich, die der Flächen
aber gleich Eins ist, so ist bei diesem
Vieleck, und folglich bei allen gebroche
nen Flächen, welche die oben gegebene
Bedingung erfüllen:
f + e — к = 1.
Eine solche Fläche entsteht nun unter
andern dann, wenn man von einem be
liebigen Polyeder eine Grenzfläche weg
nimmt. Da nun hierbei die Anzahl der
Ecken und Kanten dieselbe bleibt, die
der Flächen sich aber um Eins vermin
dert, so ist bei dem Polyeder
7) f+e-k = 2.
Dies gibt den wichtigen Satz:
Lehrsatz 2. „In jedem Polyeder ist
die Summe der Anzahl der Ecken und
Flächen um zwei grösser als die der
Kanten.“
Aus der Formel 7) in Verbindung
mit 6) ergibt sich noch:
8) 2f=A + a + 2ß + Sy + Ad + ...
und aus 7) und 5):
9) 2e = 4 +A+ 2B+ 3C+4D+ ...
Scholion. Der Lehrsatz heisst nach
seinem Erfinder der Eulers che, der
hier gegebene Beweis rührt von Cauchy
her. Es ergibt sich aber auch eine Be
ziehung für die Kantenwinkel. Ist
