Raumlehre. 
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Raumlehre. 
nämlich n die Anzahl der Seiten von 
einer Fläche, so ist die Anzahl der zu 
gehörigen Polygon- oder Kantenwinkel 
2n — 4 Rechte, und somit, da A die An 
zahl der Flächen ist, wo n — 3, B die, 
wo n = 4 ist, u. s. w. so hat man für die 
Summe aller Kantenwinkel; 
2(3A + 4ß + 5C+ ...) - ±{A+B±C) 
Rechte, d. h. wegen Formel 1) und 3) 
(4k — 4f) Rechte, oder.wegen Formel 7) : 
4(e —2) Rechte. Also; 
Lehrsatz 3. „In jedem Polyeder 
beträgt die Summe aller Kantenwinkel 
viermal soviel Rechte als die um zwei 
verminderte Anzahl der Ecken beträgt.“ 
II. Definition und Lehrsätze. 
Definition. Regelmässiges Po 
lyeder heisst ein solches, worin alle 
Flächen congruent, alle Kanten, Ecken, 
Kantenwinkel und Ebenenwinkel unter 
einander gleich sind. 
Es folgt aus dem Umstande, dass alle 
Kanten und Kantenwinkel gleich sind, 
dass die Grenzflächen regelmässige Viel 
ecke sind. 
Wenn zwischen den regelmässigen 
Vielecken und Polyedern sonach eine 
gewisse Analogie stattfindet, so erstreckt 
dieselbe sich nicht so weit, dass es wie 
regelmässige Vielecke von beliebiger 
Seitenanzahl, auch regelmässige Polyeder 
von beliebiger Flächenanzahl gebe. Viel 
mehr gilt der folgende 
Lehrsatz 4. „Es kann nicht mehr 
als fünf regelmässige Polyeder geben.“ 
Beweis. Da die Ecken des Polyeder 
wenigstens drei Kanten haben müssen, 
so werden in einer solchen wenigstens 
drei regelmässige Vielecke zusammen- 
stossen. Nehmen wir an diese Vielecke 
seien Dreiecke so wird jeder Kanten 
winkel dem Winkel eines gleichseitigen 
Dreiecks gleich sein, also 60 Grad be 
tragen. Wären die Ecken sechskantige, 
so betrüge die Summe der Kantenwinkel 
derselben 360° = 4 R, was dem Satze 7. 
des vorigen Abschnittes widerstreitet. Es 
können also, wenn die Flächen Dreiecke 
sind, nur drei, vier oder fünfkantige 
Ecken stättfinden. 
Seien die Flächen Vierecke, also der 
Polygon- oder Kantenwinkel 90° so sind 
schon vierkantige Ecken unmöglich, da 
4 • 90 = 4 R ist. 
Bei regelmässigen Fünfecken, wo der 
Polygonwinkel 180 9 beträgt, wäre zwar 
3 • 108 — 324 kleiner, dagegen 4 • 108 
schon grösser als 4 R, also vierkantige 
Ecken unmöglich. 
Bei Sechsecken, deren Polygonwinkel 
-J- R = 120° 
O 
beträgt, wäre schon 
3 • 120 = 360, 
also sind selbst dreikantige Ecken un 
möglich, um so mehr ist dies hei Sieben 
ecken u. s. w. der Fall. 
Bei den regelmässigen Polyedern kön 
nen also nur folgende Flächen und Ecken 
Vorkommen: 
1) Die Flächen sind Dreiecke, die Ecken 
dreikantig, 
2) die Flächen sind Dreiecke, die Ecken 
vierkantig, 
3) die Flächen sind Dreiecke, die Ecken 
fünfkantig, 
4) die Flächen sind Vierecke, die Ecken 
dreikantig, 
5) Die Flächen sind Fünfecke, die Ecken 
dreikantig. 
Scholion. Es ist nun leicht, mittels 
der in I. gegebenen Formeln, die Anzahl 
der Ecken, Flächen und Kanten zu er 
mitteln, für jeden der Fälle, wenn man 
dies wirkliche Vorhandensein des ent 
sprechenden Polyeders zunächst noch 
fraglich lässt. 
In Fall 1), 2) und 3), ist nämlich: 
B=zC= D =z ... =0, A = f, 
also nach Formel 3): 
2 k = 3 f. 
In Fall 1) ist: 
ß — y zz cT ... — o, « = c, 
also nach Formel 4): 2k—3e. 
Diese beiden Gleichungen in Verbindung 
mit f+e — k = 2 geben: 
k — 6, 
also f— 4, e = 4. 
Im Fall 2) ist: 
a — y ~ cf ... — 0, ß — e, 
also die Formeln 3), 4) und 7) geben: 
2k = 3 f, k = 2e, 
d.h.: k = 12, f- 8, c = 6. 
In Fall 3) wo: 
a = ß — i) ... = 0, y — e 
ist, hat man: 
2k = 3f, 2h = 5e, 
~k + ~k~k=2, 
d.h. & = 30, f- 20, e = 12.