Raumlehre. 
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Raumlehre. 
C) Das Icosaeder. Ganz ähnlich 
wie bei dem vorigen Polyeder, zeigen 
wir, dass sich über dem regelmässigen 
Fünfecke ABCDE (Fig. 287) eine fünf 
kantige Ecke FABCDE errichten lasse, so 
dass die Kanten FA, Fß u. s. w. den Seiten 
des Fünfecks, die Ebenenwinkel AF, BF, 
CF, DF, EF aber unter sich gleich 
Fig. 287. 
sind. Da die zwei Ebenen die sich in 
E schneiden so gegen einander geneigt 
sind, wie zwei Ebenen der Ecke bei F, 
so kann man bei E noch 3 regelmässige 
Dreiecke EGA, EGH, EGD derart hin 
zufügen, dass eine F congruente Ecke 
entsteht, wodurch auch bei D und A 
noch, wie AEF und BEF, gegen ein 
ander und gegen eine von diesen letzte 
ren Ebenen geneigten Dreiecke entstehen. 
Indem man noch Linien BK und CL 
zieht und über BCein gleichseitiges, ebenso 
gegen FBC geneigtes Dreieck wie die 
andern Dreiecke gegen einander errichtet, 
und KE, LE zieht, so ist leicht zu se 
hen, dass ein Ring von 10 Dreiecken um 
die Grundfläche der Pyramide ABCDEF 
errichtet ist, so dass bei A, B, C, D, E, F 
congruente fünfkantige Ecken entstehen. 
Auch zeigt sich, dass dieser Ring sich 
selbst in den zwei verschiedenen Lagen, 
wo ABCDE und KMLHG auf einander 
gelegt werden, decken muss. (Es sind 
in beiden Lagen die zusammenfallenden 
Kanten und Ecken gleich.) Daraus folgt, 
dass KMLHG ein ebenes Fünfeck ist, 
über welches eine ABCDEF congruente 
Pyramide errichtet werden kann, so dass 
man 12 fünfkantige congruente Ecken 
hat, wozu 20 regelmässige Dreiecke ge 
hören. 
D) Das Hexaeder. Es ist sogleich 
zu sehen, dass über einem Quadrate 
ABCD (Fig. 288), rechtwinklig auf der 
Ebene desselben vier andere errichtet 
werden können, welche ein Prisma bilden, 
wo die ABCD parallele Ebene durch 
je eine Seite EF, FG, GH, HE dieser 
vier Quadrate gebildet wird. Es ist 
der durch dieselben gebildete Ring näm 
lich in umgekehrter Lage sich selbst 
congruent, und daher EFGH ein Qua 
drat. Man hat. also sechs Quadrate, 
welche 8 dreikantige Ecken mit rechten 
Kanten- und Ebenenwinkeln bilden. 
E) Das Dodecaeder. In einer 
Ecke A (Fig. 289) des regulären Fünf 
ecks ABCDE werden an die Kanten AB 
und AE zwei congruente Fünfecke ge 
legt, und so auch die andern Kanten und 
Ecken besetzt, so dass A, B, C, D, E 
dreikantige Ecken werden, deren Kanten 
winkel und folglich auch Ebcnenwinkel 
unter einander gleich sind; man sieht 
dann, dass z. B. in P zwei Fünfecke Zu 
sammentreffen, die so gegen einander 
geneigt sind, wie zwei der in A zusam- 
menstossenden, während die Kantenwinkel 
APG und APH gleich den Kantenwin 
keln bei A sind. Es ist also die Ecke P 
der Ecke A congruent und da Aehn- 
liches für die Ecken Q, ß u. s. w. gilt,