Raumlehre. 
192 
Raumlehre. 
pipedon; sind alle Grenzflächen Recht 
ecke, so ist das Parallelepipedon ein 
rechtwinkliges. Eine Pyramide wird 
begrenzt von einer Anzahl Dreiecke, von 
denen je zwei Seiten eine Ecke bilden, 
und einem Vieleck. Die Dreieckseiten, 
welche die Ecke bilden, treffen in einem 
Punkte zusammen, der die Spitze der 
Pyramide heisst, die Kanten dieser Ecke 
heissen Seiten der Pyramide, das Viel 
eck, welches sie durchschneidet Grund 
fläche. Legt man durch eine Pyra 
mide eine der Grundfläche parallele 
Ebene, welche also wie leicht zu sehen, 
ein der Grundfläche ähnliches Vieleck 
abschneidet, so heisst das zwischen bei 
den Vielecken liegende Pyramidenstück 
ab ge stumpfte Pyramide. Eine Senk 
rechte, welche von der Spitze auf die 
Grundfläche gefällt wird, heisst Höhe 
der Pyramide. Höhe der abge 
stumpften Pyramide heisst die Senk 
rechte zwischen beiden Grundflächen. 
II, Definition und Lehrsatz. 
Definition. Zwei Körper haben 
gleichen körperlichen Inhalt, wenn sie 
sich in congruente Stücke zerlegen las 
sen. Wenn man von einem Punkte in 
nerhalb eines völlig geschlossenen Kör 
pers nach allen Ecken desselben Linien 
zieht, so wird derselbe eine Pyramide, 
und eine Pyramide von beliebig viel 
Seiten lässt sich in eine Anzahl drei 
seitiger Pyramiden verwandeln, wenn 
man, die Grundfläche in Dreiecke theilt, 
und von der Spitze der Pyramide nach 
allen Winkelspitzen derselben Linien 
zieht. Es lassen sich also schliesslich 
alle Körper von gleichem Inhalt in con 
gruente dreiseitige Pyramiden zerlegen. 
Ist jedoch der Körper zum Theil oder 
ganz von krummen Flächen begrenzt, 
so werden die Grundflächen dieser Pyra 
miden unendlich klein, und es ist daher 
in diesem Falle die Definition des glei 
chen Inhalts zweier Körper so zu ver 
stehen, dass von den Körpern sich Pyra 
miden abtheilen lassen, deren Inhalts 
summe mit wachsender Anzahl derselben 
sich auf jede Grenze dem Inhalt der 
Körper nähert, während die Pyramiden, 
in die der eine Körper zerfällt, denen, 
worin der andere zerfällt, entsprechend 
congruent werden. 
Der folgende Satz, der das genaue 
Analogon eines Satzes in der ebenen 
Geometrie bildet, liegt den Untersuchun 
gen über Flächengleichheit und über 
Ausmessung der Körper zu Grunde. 
Lehrsatz 1. „Prismen von gleicher 
Grundfläche und gleicher Höhe haben 
gleichen körperlichen Inhalt.“ 
Um diesen Satz zu beweisen, ist jedoch 
von einem speciellen Falle auszugehen: 
A) „Parallelepipeda mit congruenter 
Grundfläche und gleicher Höhe, welche 
so gelegt werden können, dass je zwei 
parallele Seitenflächen 'in dieselbe Ebene 
fallen, haben gleichen Inhalt.“ 
Beweis. Seien ABCD, ahed con 
gruente Grundflächen (Fig. 290). Da 
Fig. 290. 
die Höhen gleich sind, fallen die andern 
Grundflächen EFGH, efgh offenbar in 
eine Ebene; selbstverständlich sind sie 
untereinander und den andern Grund 
flächen congruent. 
Die Parallelepipeda sind ferner so ge 
legt, dass die Seitenflächen ADEF und 
adef in eine, BCGH und begh in eine 
andere (der ersteren parallele) Ebene 
fallen. Untersuchen wir jetzt die Kör 
per AaeEhHBb und DdfFgGCc, so 
sind in denselben je zwei Seiten ent 
sprechend gleich, nämlich z. B. AE = DF, 
An, Dd u. s. w, wie leicht zu sehen, auch 
sind diese Seiten parallel, und daher alle 
von ihnen gebildeten Ecken (die sämmt- 
lich dreikantig sind) z. B. A und a ent 
sprechend congruent wegen Gleichheit 
der Kantenwinkel; es sind somit die eben 
benannten Körper selbst congruent. Zieht 
man sie nun nach einander von dem 
ganzen Körper AdfEIlgcB ab, so bleiben