langten Eigenschaften haben; macht man 
GM = gm, und legt Ebene HKL durch 
die erste Pyramide, so ist nach vorigem 
Satze: 
ABC _ GN 2 gn 2 _ abc 
HKL ~ GM* ~ gm 2 ~ hM 
und, da ABC ~ abc, ist auch HKL — hkl. 
Theilt man nun in beiden Pyramiden die 
Höhen in eine gleiche Anzahl von Thei- 
len, deren jeder gleich AD sei und legt 
durch die Theilpunkte Ebenen parallel 
der Grundfläche. Zieht man durch die 
Winkelspitzen jeder so entstandenen 
Schnittfläche aber senkrechte Linien bis 
zur nächsten wie AD, CE, BF so ent 
stehen dreiseitige Prismen und die gan 
Raumlehre 
Raumlehre. 
Fig. 293. 
seitige Prismen ABDFHE und BCDFHG 
entstehen. Bei diesem sind die dreikan 
tigen Ecken A und G, ÜABH und HFGD 
u. s. w. congruent (die Kantenwinkel sind 
gleich), da auch die entsprechenden Sei 
ten gleich sind, decken sich die Prismen, 
womit unser Satz bewiesen ist. Hieraus 
folgt dann; 
D) „Dreiseitige Prismen von con 
gruenter Grundfläche und gleicher Höhe 
sind gleich.“ 
Jetzt lässt sich leicht unser Lehrsatz 1. 
beweisen. Denn wenn die Grundflächen 
beliebiger Parallelepipeda gleich sind, so 
lassen sie sich auf irgend eine Art in 
congruente Dreiecke zerlegen; zieht man 
durch deren Winkelspitzen Parallelen mit 
den Seiten der Prismen, so werden diese 
in ebensoviel dreiseitige Prismen ver 
wandelt, von denen nach dem eben be 
wiesenen Satze D) je 2 gleichen Inhalt 
haben, was somit von den ganzen Pris 
men gilt. 
abc : hkl —ab 2 : hk 2 , 
sind aber gn und gm die Höhen, so ist, 
wenn man mh und na, mk und nb zieht, 
Dreieck gmh gna, 
und da mh und mk bezüglich mit na 
und nb sind, auch Dreieck hmk jn anb, 
also: 
gn _ gm na _ mh 
na mh’ ab hk ’ 
beide Gleichungen multiplicirt, geben: 
gn _ gm gn- _ ab 2 _ abc 
ab hk ’ gm* hk 2 hkl ’ 
was zu beweisen war. 
Lehrsatz 3. „Pyramiden von glei 
cher Grundfläche und Höhe haben glei 
chen körperlichen Inhalt.“ 
Beweis, Die Pyramiden AB CG (Fig. 
294) und abcg (Fig. 293) mögen die ver- 
Fig. 294. 
III. Lehrsätze. 
Es ist aber nöthig, Aehnlichcs auch 
für die Pyramiden zu beweisen. Da in 
solche und nicht in Prismen alle Körper 
getheilt werden können. 
Lehrsatz 2. „Wird eine Pyramide 
durch eine Ebene parallel der Grund 
fläche geschnitten, so wird eine kleinere 
Pyramide abgeschnitten, deren Grund 
fläche sich zu der der gegebenen verhält, 
wie die Quadrate der Höhen.“ 
Beweis. Sei in abcg (Fig. 293), hkl 
parallel der Grundfläche, so ist offenbar 
hkl co abc, da die Seiten beider Figuren 
entsprechend parallel sind, also: