Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Beweis. Es genügt diesen Satz für Sei ahcdefgh (Fig. 296) ein solches, 
ein rechtwinkliges Parallelepipedon zu Nehmen wir an, die Seiten desselben 
beweisen, da jedes andere Prisma gleich ständen zur Linieneinheit in einem ra- 
einem solchen von gleicher Grundfläche tionalen Verhältnisse, so lässt sich immer 
und Höhe ist. ein Theil der letztem, etwa der ste 
Eig. 296. 
finden, der in allen drei anstossendcn 
Seiten des Parallelepipedons eine ganze 
Anzahl von Malen enthalten ist. Dies 
ist, wenn die Verhältnisse aller Seiten 
zur Linieneinheit nicht rational sind, 
zwar nicht genau, aber doch bis auf 
einen beliebig klein zu machenden Fehler 
der Fall, wie dies bei dem entsprechen 
den Satze vom Parallelogramm bereits 
ausgeführt ist, dass selbst bei irrationa 
len Verhältnissen die jetzt zu machen 
den Folgerungen bis auf einen beliebig 
klein zu machenden Fehler d. h. bis auf 
jede Grenze der Genauigkeit, also völlig 
richtig sind. Enthalten nun die zusam- 
menstossenden Seiten ab, ad, ae diesen 
sten Theil der Längeneinheit bezüglich 
n, p, q mal, theilt man dieselben in so 
viel Theile, und zieht durch alle Theil- 
punkte Parallelen mit den Seiten, so 
entstehen über der Grundfläche ahed, 
np Würfel, über diesen ebensoviel u. s. w., 
im ganzen soviel Systeme von np Würfeln, 
als ae Theile hat, also q, so dass die 
Anzahl dieser Würfel npq ist. Was nun 
die Grösse eines solchen Würfels be 
trifft, so hat ein jeder — der Längen- 
s 
einheit zur Seite. Denkt man sich nud 
einen der Körpereinheit gleichen Würfel, 
und theilt jede Seite desselben in s Theile, 
so ist, da auch dieser Würfel ein recht 
winkliges Parallelepipedon mit gleichen 
Seiten ist, nach dem Obigen die Kör 
pereinheit in s • s • s Theile getheilt, 
. 1 
und jeder davon beträgt somit —j von 
der Körpereinheit. Somit ist unser Pa 
rallelepipedon in npq Theile getheilt, 
deren jeder der Körpereinheit ist, und 
es enthält dieselbe = — • — • — mal. 
s 3 s s s 
Die Seiten enthielten bezüglich den s ten 
Theil der Linieneinheit n, p, q mal, also 
die Linieneinheit selbst —, —, — mal. 
s s s 
Durch Multiplication dieser Zahlen ent 
steht aber diejenige, welche den Körper 
inhalt des Parallelepipedons ausdrückt. 
Ferner ist — die Anzahl der Längenein- 
s 
i • n p 
heit, welche die Höhe ae, und — • — 
s s 
die Anzahl der Flächeneinheit der Grund 
fläche ab cd, womit unser Satz erwiesen ist. 
Lehrsatz 6. „Der Inhalt einer Py 
ramide ist gleich dem dritten Theile des 
Products aus Grundfläche und Höhe.“ 
Beweis. Die Pyramide ist nämlich 
der dritte Theil des Prisma von gleicher 
Grundfläche und Höhe. 
Lehrsatz 7. „Der Inhalt der abge 
stumpften Pyramide ist gleich dem In 
halte von drei vollständigen, welche 
gleiche Höhe mit der gegebenen, als 
Grundflächen aber bezüglich die beiden 
Grundflächen der gegebenen, und die